Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada:
\sigma(u, v)=\left(v \cos u, v \operatorname{sen} u, \frac{1}{v^{2}}\right), 0 \leq u \leq 2 \pi, v>0.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\sigma(u,v)=\bigl(v\cos u,\;v\operatorname{sen} u,\;\tfrac1{v^{2}}\bigr), \quad 0\le u\le 2\pi,\;v>0
e pede a imagem da superfície.
Conteúdo: superfícies de revolução e mudança para coordenadas polares no plano xy.

Passo 2

Observe que as duas primeiras componentes são exatamente as coordenadas polares no plano:
x = v\cos u, \quad y = v\operatorname{sen} u,
logo v = \sqrt{x^{2}+y^{2}} e u é o ângulo polar.

Passo 3

A terceira componente é
z=\frac1{v^{2}}.
Substituindo v=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, obtemos
z = \frac1{(\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}} = \frac1{x^{2}+y^{2}}.
Portanto a imagem é o gráfico da função
f(x,y)=\frac1{x^{2}+y^{2}}, \quad (x,y)\neq(0,0).

Passo 4

Em palavras, é uma superfície de revolução obtida ao girar a curva z=1/v^{2} (no plano v\!z) em torno do eixo z. Ela tende a 0 quando v\to\infty (ou seja, longe da origem) e cresce sem limite quando v\to0 (próximo ao eixo z).

Resposta

A imagem é
\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\bigm|z=\tfrac1{x^{2}+y^{2}},\;(x,y)\neq(0,0)\bigr\},
isto é, o gráfico de z=1/(x^{2}+y^{2}) para (x,y)\neq(0,0).

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