Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada: \sigma(u, v)=\left(v \cos u, v \operatorname{sen} u, \frac{1}{v^{2}}\right), 0 \leq u \leq 2 \pi, v>0.
e pede a imagem da superfície.
Conteúdo: superfícies de revolução e mudança para coordenadas polares no plano xy.
Passo 2
Observe que as duas primeiras componentes são exatamente as coordenadas polares no plano:
x = v\cos u, \quad y = v\operatorname{sen} u,
logo v = \sqrt{x^{2}+y^{2}} e u é o ângulo polar.
Passo 3
A terceira componente é
z=\frac1{v^{2}}.
Substituindo v=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, obtemos
z = \frac1{(\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}} = \frac1{x^{2}+y^{2}}.
Portanto a imagem é o gráfico da função
f(x,y)=\frac1{x^{2}+y^{2}}, \quad (x,y)\neq(0,0).
Passo 4
Em palavras, é uma superfície de revolução obtida ao girar a curva z=1/v^{2} (no plano v\!z) em torno do eixo z. Ela tende a 0 quando v\to\infty (ou seja, longe da origem) e cresce sem limite quando v\to0 (próximo ao eixo z).