Seja f: K \rightarrow \mathbb{R} de classe C^{1} no compacto K com fronteira de conteudo nulo e interior não vazío. Mostre que a area da superficie z=f(x, y) (i.e. a superficie dada por x=u, y=v, z=f(u, v)) é dada pela formula:
\iint_{K} \sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da superfície
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=f(x,y),\;(x,y)\in K\},
onde f:K\to\mathbb{R} é de classe C^1, e K\subset\mathbb{R}^2 é compacto com fronteira de medida nula e interior não vazio.
O conteúdo envolvido é a definição de área de superfície parametrizada, que se baseia no cálculo do produto vetorial dos vetores tangentes à parametrização.

Passo 2

Parametrizamos S pela aplicação
\Phi:K\to\mathbb{R}^3,\quad \Phi(u,v)=(u,v,f(u,v)).
Essa aplicação é de classe C^1 porque f é C^1. A imagem de \Phi é exatamente S.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
\Phi_u(u,v)=\frac{\partial\Phi}{\partial u}=(1,0,f_u(u,v)), \qquad \Phi_v(u,v)=\frac{\partial\Phi}{\partial v}=(0,1,f_v(u,v)),
onde f_u=\partial f/\partial x e f_v=\partial f/\partial y.

Passo 4

O elemento de área na parametrização vem do módulo do produto vetorial
\Phi_u\times\Phi_v =(1,0,f_u)\times(0,1,f_v) =(-f_u,\,-f_v,\,1).
Seu comprimento é
\bigl\|\Phi_u\times\Phi_v\bigr\| =\sqrt{(-f_u)^2+(-f_v)^2+1^2} =\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}.

Passo 5

Pela definição de área de superfície parametrizada, integra-se esse fator sobre o domínio K:
\text{Área}(S) =\iint_K\bigl\|\Phi_u(u,v)\times\Phi_v(u,v)\bigr\|\,du\,dv =\iint_K\sqrt{1+f_u(u,v)^2+f_v(u,v)^2}\;du\,dv.Á

Resposta

\boxed{\text{Área}(S) =\iint_{K}\sqrt{1+\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)^{2}}\;dx\,dy.}Á

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