Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
e) u(x, y) = (raiz(x + 2) - raiz(8 - 6 x - 2 y)) / (raiz(2 y + x^2) + 6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o domínio da função . Isso significa descobrir para quais valores de e essa função está bem definida. Para isso, vamos usar conceitos de funções e raízes quadradas, garantindo que tudo dentro das raízes seja não negativo e que o denominador não seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as partes da função que envolvem raízes quadradas. Lembre-se que para a raiz quadrada de um número ser real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos três condições para satisfazer:

Passo 3

Vamos resolver cada uma dessas desigualdades:
  1. Para :
    Então, deve ser maior ou igual a -2.
  2. Para :
    Podemos simplificar dividindo por 2:
    Então, a combinação de e deve satisfazer .
  3. Para :
    Isso significa que deve ser maior ou igual a .

Passo 4

Agora, vamos resumir as condições que encontramos:
Essas três desigualdades definem o conjunto de pontos onde a função está definida.

Passo 5

Para representar isso no plano , podemos pensar nas seguintes regiões:
  • : É uma reta vertical que passa por , e consideramos tudo à direita dessa linha.
  • : É uma reta que corta o eixo em 4 e tem inclinação negativa. Consideramos a região abaixo dessa reta.
  • : É uma parábola aberta para cima. Consideramos a região acima dessa curva.
A interseção dessas três regiões nos dá o domínio da função.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem:
No plano , esse domínio corresponde à região onde é maior ou igual a -2, está abaixo da reta e acima da parábola .

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