Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também calcula o valor dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral imprópria, como determinar sua convergência e realizar os cálculos necessários.
Passo 2
Primeiro, uma integral imprópria é aquela que envolve limites infinitos ou integra uma função que não está definida em algum ponto do intervalo de integração. No nosso caso, o limite inferior é
e a função
não está definida em
, já que dividimos por zero.
Passo 3
Para analisar a convergência, vamos dividir a integral em duas partes: de
a 0 e de 0 a 1. Assim, temos:
Vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Vamos começar com
. Para resolver isso, usamos o limite:
A antiderivada de
é
, então:
Aqui vemos que
tende ao infinito, o que indica que essa parte da integral diverge.
Passo 5
Mesmo que a primeira parte já seja divergente, para completar o entendimento, vamos olhar para
. Usamos o limite:
Calculando:
Essa parte também diverge.
Resposta
Como ambas as partes da integral
divergem, concluímos que a integral imprópria é divergente.