Assim como no Exercício 6, seja G a porção da bola x^{2}+y^{2}+z^{2} \rleq 25que se situa acima do plano z=3. Escreva (sem calcular) o volume do sólido G como uma integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva, sem calcular, o volume do sólido G como uma integral tripla em coordenadas esféricas. As informações relevantes do enunciado são:
  • G é a porção da bola \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 25\; (ou seja, esfera de raio 5 centrada na origem) que está acima do plano \;z=3\; (ou seja, pontos com z\ge 3).
  • A tarefa é apenas montar a integral tripla em coordenadas esféricas que representa o volume de G, sem efetuar a integração.

Passo 2

Definição e notação de coordenadas esféricas que vou usar (a convenção padrão):
  • \rho é a distância do ponto à origem, \rho\ge 0.
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo, ou seja 0\le \varphi\le \pi.
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x, com 0\le \theta<2\pi.
    A relação com coordenadas cartesianas é
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\;d\varphi\;d\theta,
pois o fator \rho^{2}\sin\varphi é o Jacobiano da mudança de variáveis (ele representa a “dilatação” do elemento de volume quando mudamos de coordenadas).

Passo 3

Equações das superfícies que limitam G em esféricas:
  • A esfera de raio 5 é simplesmente \rho=5.
  • O plano z=3 em coordenadas esféricas é \rho\cos\varphi=3 (porque z=\rho\cos\varphi). Assim a equação do plano dá \rho=\dfrac{3}{\cos\varphi} quando \cos\varphi>0.

Passo 4

Interseção entre esfera e plano (para saber o ângulo máximo \varphi):
  • No contorno entre as duas superfícies, ambas são válidas: \rho=5 e \rho\cos\varphi=3. Substituindo,
5\cos\varphi = 3 \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi = \dfrac{3}{5}.
Logo o valor crítico do ângulo é
\phi_{0} = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr).
Só para interpretação: para \varphi entre 0 e \phi_{0} a reta que parte da origem na direção \varphi atinge primeiro o plano z=3 (em \rho=3/\cos\varphi) e depois a esfera (em \rho=5), então existe um segmento entre plano e esfera com z\ge3. Para \varphi>\phi_{0} não há pontos do interior da esfera com z\ge3.

Passo 5

Determinação dos limites de integração:
  • Para \theta fazemos volta completa em torno do eixo z, portanto
0\le \theta \le 2\pi.
  • Para \varphi só interessam as direções acima do plano dentro da esfera, portanto
0\le \varphi \le \phi_{0}=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr).
  • Para um \varphi fixo em [0,\phi_{0}], os pontos do sólido G ao longo da reta radial satisfazem \rho\cos\varphi \ge 3 e \rho\le 5. Assim \rho varia entre a interseção com o plano e a esfera:
\dfrac{3}{\cos\varphi}\le \rho \le 5.

Passo 6

Montagem da integral tripla para o volume usando o elemento \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta:
  • O integrando é 1 (porque estamos calculando volume), multiplicado pelo Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi.
  • Colocando os limites encontrados, a integral que dá o volume de G é
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\operatorname{arccos}(3/5)}\int_{\rho=3/\cos\varphi}^{5} \rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\; d\varphi\; d\theta.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\operatorname{arccos}(3/5)}\int_{3/\cos\varphi}^{5}\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\;d\varphi\;d\theta

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