Assim como no Exercício 6, seja
a porção da bola
que se situa acima do plano
. Escreva (sem calcular) o volume do sólido
como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva, sem calcular, o volume do sólido
como uma integral tripla em coordenadas esféricas. As informações relevantes do enunciado são:
-
é a porção da bola (ou seja, esfera de raio centrada na origem) que está acima do plano (ou seja, pontos com ). - A tarefa é apenas montar a integral tripla em coordenadas esféricas que representa o volume de
, sem efetuar a integração.
Passo 2
Definição e notação de coordenadas esféricas que vou usar (a convenção padrão):
-
é a distância do ponto à origem, . -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo, ou seja . -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo , com .
A relação com coordenadas cartesianas é
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
pois o fator
é o Jacobiano da mudança de variáveis (ele representa a “dilatação” do elemento de volume quando mudamos de coordenadas).
Passo 3
Equações das superfícies que limitam
em esféricas:
- A esfera de raio
é simplesmente . - O plano
em coordenadas esféricas é (porque ). Assim a equação do plano dá quando .
Passo 4
Interseção entre esfera e plano (para saber o ângulo máximo
):
- No contorno entre as duas superfícies, ambas são válidas:
e . Substituindo,
Logo o valor crítico do ângulo é
Só para interpretação: para
entre
e
a reta que parte da origem na direção
atinge primeiro o plano
(em
) e depois a esfera (em
), então existe um segmento entre plano e esfera com
. Para
não há pontos do interior da esfera com
.
Passo 5
Determinação dos limites de integração:
- Para
fazemos volta completa em torno do eixo , portanto
- Para
só interessam as direções acima do plano dentro da esfera, portanto
- Para um
fixo em , os pontos do sólido ao longo da reta radial satisfazem e . Assim varia entre a interseção com o plano e a esfera:
Passo 6
Montagem da integral tripla para o volume usando o elemento
:
- O integrando é
(porque estamos calculando volume), multiplicado pelo Jacobiano . - Colocando os limites encontrados, a integral que dá o volume de
é