Desenhe as imagens das seguintes curvas:
(c)
(c)
Passo 1
Temos a curva
dada por
O objetivo é esboçar a imagem dessa curva em
. Vamos usar relações entre as coordenadas e analisar projeções para construir o desenho.
Passo 2
Repare que a componente
satisfaz
. As componentes
e
são
Logo
Isso significa que todos os pontos de
estão sobre o cone
na “metade”
.
Passo 3
A projeção de
no plano
é
que é uma espiral logarítmica decrescente: começa em
para
e vai girando enquanto se aproxima do ponto
.
Passo 4
Como
, quando
cresce a componente
também decai exponencialmente de
(em
) até
(quando
). Portanto a espiral não fica plana: ela desce ao longo do eixo
.
Passo 5
Juntando tudo: a curva inicia em
sobre o cone
, e à medida que
aumenta ela
- gira em torno do eixo
, - afasta-se cada vez menos do eixo (espiral que se fecha),
- desce em direção à origem.
No limite, .
Resposta
A imagem de
é uma espiral logarítmica situada sobre a superfície do cone
, partindo de
e descendo girando até acumular-se em
.