Desenhe as imagens das seguintes curvas:
(c) gamma(t)=(e^-t cos t, e^-t sen t, e^-t), t >= 0

Passo 1

Temos a curva gammacolon [0,infty)toR^3 dada por
gamma(t)=l(e^-tcos t,;e^-tsen t,;e^-tr)
O objetivo é esboçar a imagem dessa curva em R^3. Vamos usar relações entre as coordenadas e analisar projeções para construir o desenho.

Passo 2

Repare que a componente z satisfaz z=e^-t. As componentes x e y são
x=e^-tcos t, y=e^-tsen t
Logo
raizx^2+y^2 =raiz(e^-tcos t)^2+(e^-tsen t)^2 =e^-t =z
Isso significa que todos os pontos de gamma estão sobre o cone
z^2 = x^2 + y^2,
na “metade” z>=0.

Passo 3

A projeção de gamma no plano xy é
tmapstol(e^-tcos t,;e^-tsen tr),
que é uma espiral logarítmica decrescente: começa em (1,0) para t=0 e vai girando enquanto se aproxima do ponto (0,0).

Passo 4

Como z=e^-t, quando t cresce a componente z também decai exponencialmente de 1 (em t=0) até 0 (quando ttoinfty). Portanto a espiral não fica plana: ela desce ao longo do eixo z.

Passo 5

Juntando tudo: a curva inicia em
gamma(0)=(1,0,1)
sobre o cone z=raizx^2+y^2, e à medida que t aumenta ela
  1. gira em torno do eixo z,
  2. afasta-se cada vez menos do eixo (espiral que se fecha),
  3. desce em direção à origem.
    No limite ttoinfty, gamma(t)to(0,0,0).

Resposta

A imagem de gamma é uma espiral logarítmica situada sobre a superfície do cone z^2=x^2+y^2, partindo de (1,0,1) e descendo girando até acumular-se em (0,0,0).

Exercícios relacionados