8 Determine as assíntotas oblíquas do gráfico da função f(x)=5-x^23+2 x

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas oblíquas da função racional
f(x)=5 - x^23 + 2x
Esse conteúdo envolve divisão de polinômios e análise de limites para xtopminfty.

Passo 2

Como o grau do numerador ( 2) é exatamente um a mais que o do denominador ( 1), existe uma assíntota oblíqua dada pelo quociente da divisão de polinômios
quociente = mx + b,
onde
f(x) = (mx + b) + resto3+2x

Passo 3

Fazemos a divisão de -x^2+0x+5 por 2x+3:
  1. -x^2/(2x) = -tfrac12 x.
    Multiplicando: -tfrac12 x,(2x+3) = -x^2 - tfrac32 x Subtraindo de -x^2+0x sobra tfrac32 x.
  2. tfrac32 x/(2x) = tfrac34.
    Multiplicando: tfrac34,(2x+3) = tfrac32 x + tfrac94 Subtraindo de tfrac32 x +5 sobra 5 - tfrac94 = tfrac204 - tfrac94 = tfrac114
Logo
f(x) = -tfrac12 x + tfrac34 + tfrac1142x+3

Passo 4

Como
limxtopminfty tfrac1142x+3 = 0,
segue que
y = -tfrac12 x + tfrac34
é a única assíntota oblíqua.

Resposta

A assíntota oblíqua é
y = -tfrac12 x + tfrac34

Exercícios relacionados