1. Se f(x)=x+4x, encontre o número c que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio no intervalo [ 1,8 ].

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=x+4x, encontrar um ponto cin[1,8] que satisfaz o Teorema do Valor Médio. Vamos usar que f é contínua em [1,8] e derivável em (1,8), calcular o coeficiente angular médio da reta que liga (1,f(1)) a (8,f(8)) e depois resolver f'(c)= esse coeficiente.

Passo 2

Calcular f(1), f(8) e o coeficiente angular médio:
f(1)=1+41=5,
f(8)=8+48=8,5,
mmédio=f(8)-f(1)8-1 =8,5-57 =3,57 =0,5 é

Passo 3

Encontrar a derivada de f:
f'(x)=1-4x^2
Pelo Teorema do Valor Médio existe cin(1,8) tal que
f'(c)=mmédio=0,5 é

Passo 4

Resolver a equação para c:
1-4c^2=0,5 Longrightarrow 4c^2=0,5 Longrightarrow c^2=8 Longrightarrow c=raiz8=2raiz2
Esse valor está em (1,8), então é a solução procurada.

Resposta

c=2raiz2

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