Desenhe as imagens das seguintes curvas:
\gamma(t)=\left(\operatorname{sen}^{4} t+2 \cos ^{2} t-2, \operatorname{sen}^{2} t-1\right)

Passo 1

O enunciado define a curva parametrizada \displaystyle \gamma(t)=\bigl(\sin^{4}t \;+\;2\cos^{2}t\;-\;2\;,\;\sin^{2}t\;-\;1\bigr)
e pede que a gente desenhe a imagem dessa curva no plano. O conteúdo aqui é eliminação de parâmetro para obter a equação cartesiana e identificar o domínio do ramo resultante.

Passo 2

Observe que podemos colocar
u = \sin^{2}t,
o que implica
y = \sin^{2}t - 1 = u - 1.
Como \sin^{2}t varia entre 0 e 1, temos
0 \le u \le 1 \quad\Longrightarrow\quad -1 \le y \le 0.

Passo 3

Agora escrevemos x em função de u:
x = \sin^{4}t \;+\;2\cos^{2}t\;-\;2 = u^{2} \;+\;2(1-u)\;-\;2 = u^{2} -2u.

Passo 4

Substituindo u = y+1 em x = u^{2}-2u, vem
x = (y+1)^{2} -2(y+1) = y^{2} +2y +1 -2y -2 = y^{2} -1.
Logo a curva satisfaz
x = y^{2} -1, \quad -1 \le y \le 0.

Passo 5

Concluímos que a imagem de \gamma é exatamente o trecho da parábola
x = y^{2} -1
entre os pontos (0,-1) (quando y=-1) e (-1,0) (quando y=0).

Resposta

A imagem de \gamma é o arco da parábola
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x = y^{2} - 1,\,-1 \le y \le 0\}.

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