Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê:
\quad \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{x^{3}}{x^{4}+y^{2}}\right) \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}}{x^{4}+y^{2}}\;\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Isso é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar estimativas e o Teorema do Confronto (Squeeze) para mostrar que ele existe e vale algum número.

Passo 2

Usamos que, para todo real t, vale
|\operatorname{sen} t|\le|t|.
Portanto
\left|\frac{x^{3}}{x^{4}+y^{2}}\;\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\right| \le \frac{|x^{3}|}{x^{4}+y^{2}}\;\bigl|x^{2}+y^{2}\bigr|.

Passo 3

Reescrevemos o lado direito separando termos:
\frac{|x^{3}|\,(x^{2}+y^{2})}{x^{4}+y^{2}} = \frac{|x^{5}|}{x^{4}+y^{2}} + \frac{|x^{3}y^{2}|}{x^{4}+y^{2}}.

Passo 4

Agora estimamos cada parcela com desigualdades simples:
  1. Como x^{4}+y^{2}\ge x^{4},
\frac{|x^{5}|}{x^{4}+y^{2}}\le \frac{|x|^{5}}{x^{4}}=|x|.
  1. Como x^{4}+y^{2}\ge y^{2},
\frac{|x^{3}y^{2}|}{x^{4}+y^{2}}\le \frac{|x|^{3}y^{2}}{y^{2}}=|x|^{3}.

Passo 5

Somando as duas estimativas,
\left|\frac{x^{3}}{x^{4}+y^{2}}\;\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\right| \le |x| + |x|^{3}.
Como |x|+|x|^{3}\to0 quando (x,y)\to(0,0), pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}}{x^{4}+y^{2}}\;\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=0.

Resposta

0

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