a) Determine o polinômio de Taylor de ordem n de f(x)=\mathrm{e}^{x} em torno de x_{0}=0.
b) Avalie e com erro em módulo inferior a 10^{-5}.
c) Mostre que para todo x \in \mathbb{R},
\left|\mathrm{e}^{x^{2}}-\left(1+x^{2}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{3!}+\ldots+\frac{x^{2 n}}{n!}\right)\right| \leq \frac{\mathrm{e}^{x^{2}} x^{2 n+2}}{(n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f(x)=e^x:
(1) o polinômio de Taylor de ordem n centrado em x_0=0;
(2) aproximar e=e^1 com erro menor que 10^{-5};
(3) mostrar uma cota de erro ao truncar a série de e^{x^2} em termos de x e n.
Para isso vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor em torno de zero e a forma restolagrangeana do erro.

Passo 2

Queremos o polinômio de Taylor de ordem n para f(x)=e^x em torno de 0. Como todas as derivadas de e^x em zero valem 1, a fórmula geral é
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k =\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}.

Passo 3

Para aproximar e=e^1 com erro <10^{-5} usamos o resto de Lagrange em x=1:
R_{n}(1)=\frac{e^\xi}{(n+1)!}\,1^{\,n+1} \quad\text{para algum }\xi\in(0,1),
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|R_{n}(1)|\le\frac{e}{(n+1)!}.
Queremos \frac{e}{(n+1)!}<10^{-5}. Testando valores: \,(n+1)!=9!=362880 \tfrac{e}{9!}\approx7{,}5\times10^{-6}<10^{-5}.
Portanto basta tomar n=8 e calcular
\sum_{k=0}^{8}\frac{1}{k!} =1+1+\tfrac12+\tfrac1{6}+\tfrac1{24}+\tfrac1{120}+\tfrac1{720}+\tfrac1{5040}+\tfrac1{40320} \approx2{,}7182788.

Passo 4

Para mostrar a desigualdade do item (c) considere g(t)=e^t expandida em torno de t=0 até ordem n. O resto de Lagrange em t=x^2 é
R_{n}(x^2)=\frac{e^\eta}{(n+1)!}\,(x^2)^{n+1} \quad\text{para algum }\eta\in(0,x^2).
Como e^\eta\le e^{x^2}, obtemos
\biggl|e^{x^2}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(x^2)^k}{k!}\biggr| =|R_{n}(x^2)| \le\frac{e^{x^2}\,x^{2n+2}}{(n+1)!}.

Resposta

a) \displaystyle T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}.
b) Com n=8 obtemos \displaystyle e\approx\sum_{k=0}^{8}\frac{1}{k!}=2{,}7182788
com erro menor que 10^{-5}.
c) Para todo x\in\mathbb{R} vale
\biggl|e^{x^2}-\Bigl(1+x^2+\tfrac{x^4}{2}+\cdots+\tfrac{x^{2n}}{n!}\Bigr)\biggr| \le\frac{e^{x^2}\,x^{2n+2}}{(n+1)!}.

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