a) Determine o polinômio de Taylor de ordem n de f(x)=\mathrm{e}^{x} em torno de x_{0}=0.
b) Avalie e com erro em módulo inferior a 10^{-5}.
c) Mostre que para todo x \in \mathbb{R},
O enunciado pede três coisas sobre a função f(x)=e^x:
(1) o polinômio de Taylor de ordem n centrado em x_0=0;
(2) aproximar e=e^1 com erro menor que 10^{-5};
(3) mostrar uma cota de erro ao truncar a série de e^{x^2} em termos de x e n.
Para isso vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor em torno de zero e a forma restolagrangeana do erro.
Passo 2
Queremos o polinômio de Taylor de ordem n para f(x)=e^x em torno de 0. Como todas as derivadas de e^x em zero valem 1, a fórmula geral é
a) \displaystyle T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}.
b) Com n=8 obtemos \displaystyle e\approx\sum_{k=0}^{8}\frac{1}{k!}=2{,}7182788
com erro menor que 10^{-5}.
c) Para todo x\in\mathbb{R} vale