Seja I um intervalo aberto e seja f: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} derivável até 2^{\text {a }} ordem em I. Use o polinômio de Taylor de grau 1 e a fórmula de Taylor para provar o “teste da segunda derivada”, isto é, prove que se a \in I é um ponto crítico de f e
a) Se f^{\prime \prime}(x) \geq 0 para todo x \in I, então f tem mínimo em a.
b) Se f^{\prime \prime}(x) \leq 0 para todo x \in I, então f tem máximo em a.

Passo 1

O enunciado diz que f:I\to\mathbb{R} é de classe C^2 num intervalo aberto I e que a\in I é ponto crítico, isto é, f'(a)=0. Queremos usar o polinômio de Taylor de grau 1 com resto integral ou de Lagrange para mostrar que, se f''(x)\ge0 em I, então f tem mínimo em a, e se f''(x)\le0 em I, então f tem máximo em a.

Passo 2

Pela fórmula de Taylor de ordem 1 com resto de Lagrange, para todo x\in I existe \xi entre a e x tal que
f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+\frac{f''(\xi)}{2}\,(x-a)^2.

Passo 3

Como a é ponto crítico, temos f'(a)=0. Substituindo na expressão acima,
f(x)=f(a)+\frac{f''(\xi)}{2}\,(x-a)^2.

Passo 4

Se f''(x)\ge0 para todo x\in I, então em particular f''(\xi)\ge0. Como (x-a)^2\ge0, o termo \tfrac{f''(\xi)}{2}\,(x-a)^2 é não negativo, e segue que
f(x)\;-\;f(a)\;=\;\frac{f''(\xi)}{2}\,(x-a)^2\;\ge0,
ou seja, f(x)\ge f(a) para todo x perto de a. Logo a é mínimo local de f.

Passo 5

De modo análogo, se f''(x)\le0 em I, então f''(\xi)\le0 e (x-a)^2\ge0 implicam
f(x)-f(a)=\frac{f''(\xi)}{2}\,(x-a)^2\le0,
isto é, f(x)\le f(a) próximo de a, mostrando que a é máximo local de f.

Resposta

(a) Se f''(x)\ge0 em I, então f tem mínimo em a.
(b) Se f''(x)\le0 em I, então f tem máximo em a.

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