Seja
um intervalo aberto e seja
derivável até
ordem em
. Use o polinômio de Taylor de grau 1 e a fórmula de Taylor para provar o “teste da segunda derivada”, isto é, prove que se
é um ponto crítico de
e
a) Se
para todo
, então
tem mínimo em
.
b) Se
para todo
, então
tem máximo em
.
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado diz que
é de classe
num intervalo aberto
e que
é ponto crítico, isto é,
. Queremos usar o polinômio de Taylor de grau 1 com resto integral ou de Lagrange para mostrar que, se
em
, então
tem mínimo em
, e se
em
, então
tem máximo em
.
Passo 2
Pela fórmula de Taylor de ordem 1 com resto de Lagrange, para todo
existe
entre
e
tal que
Passo 3
Como
é ponto crítico, temos
. Substituindo na expressão acima,
Passo 4
Se
para todo
, então em particular
. Como
, o termo
é não negativo, e segue que
ou seja,
para todo
perto de
. Logo
é mínimo local de
.
Passo 5
De modo análogo, se
em
, então
e
implicam
isto é,
próximo de
, mostrando que
é máximo local de
.
Resposta
(a) Se
em
, então
tem mínimo em
.
(b) Se em
, então
tem máximo em
.
(b) Se