Desenhe as imagens das seguintes curvas, indicando o sentido do percurso:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenharmos a curva definida por
onde
. Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos entender cada componente dessa curva e como elas se juntam para formar o trajeto completo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função
:
- Componente
: Essa parte descreve uma função cosseno, que oscila entre -1 e 1 de forma periódica. - Componente
: Semelhante ao cosseno, o seno também oscila entre -1 e 1 periodicamente. - Componente
: Essa é uma função exponencial decrescente que tende a zero conforme aumenta.
Essas três componentes definem uma curva no espaço tridimensional, onde
e
determinam a posição no plano horizontal e
determina a altura.
Passo 3
Vamos visualizar o que acontece conforme
varia:
- Para
: . Esse é o ponto inicial da curva. - Conforme
aumenta: e fazem a curva dar voltas circulares no plano , enquanto diminui exponencialmente, fazendo a curva descer no eixo .
Isso significa que a curva vai formando uma hélice que se aproxima do plano
conforme
cresce.
Passo 4
Para desenhar a curva, vamos seguir esses passos:
- Desenhe o plano
: No plano horizontal, marque o círculo de raio 1, já que tanto quanto variam entre -1 e 1. - Marque a componente
: No eixo vertical , note que para , , e conforme aumenta, diminui até se aproximar de 0. - Trace a curva: Comece no ponto
e faça a curva dar voltas circulares no plano , mas ir descendo no eixo a cada volta. Isso cria uma hélice que desce suavemente até quase o plano .
Passo 5
Agora, vamos indicar o sentido do percurso:
- Começo em
: No ponto . - Conforme
aumenta: A curva dá voltas no sentido anti-horário no plano enquanto desce no eixo .
Então, a seta que indicará o sentido da curva deve começar em
e seguir no sentido anti-horário descendo.
Resposta
Desenhando a curva
para
, obtemos uma hélice que começa no ponto
no espaço tridimensional. À medida que
aumenta, a hélice dá voltas circulares no plano
no sentido anti-horário enquanto desce exponencialmente no eixo
, aproximando-se do plano
sem nunca tocá-lo completamente. O sentido do percurso é indicado por uma seta que percorre a hélice de cima para baixo no sentido anti-horário.