Desenhe as imagens das seguintes curvas, indicando o sentido do percurso:
^* gamma(t)=(cos t, sen t, e^-t), t >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenharmos a curva definida por gamma(t) = (cos t, sin t, e^-t) onde t >= 0. Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos entender cada componente dessa curva e como elas se juntam para formar o trajeto completo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função gamma(t):
  • Componente x(t) = cos t: Essa parte descreve uma função cosseno, que oscila entre -1 e 1 de forma periódica.
  • Componente y(t) = sin t: Semelhante ao cosseno, o seno também oscila entre -1 e 1 periodicamente.
  • Componente z(t) = e^-t: Essa é uma função exponencial decrescente que tende a zero conforme t aumenta.
Essas três componentes definem uma curva no espaço tridimensional, onde x e y determinam a posição no plano horizontal e z determina a altura.

Passo 3

Vamos visualizar o que acontece conforme t varia:
  • Para t = 0: gamma(0) = (cos 0, sin 0, e^0) = (1, 0, 1). Esse é o ponto inicial da curva.
  • Conforme t aumenta: x(t) e y(t) fazem a curva dar voltas circulares no plano xy, enquanto z(t) diminui exponencialmente, fazendo a curva descer no eixo z.
Isso significa que a curva vai formando uma hélice que se aproxima do plano xy conforme t cresce.

Passo 4

Para desenhar a curva, vamos seguir esses passos:
  1. Desenhe o plano xy: No plano horizontal, marque o círculo de raio 1, já que tanto cos t quanto sin t variam entre -1 e 1.
  2. Marque a componente z(t): No eixo vertical z, note que para t = 0, z = 1, e conforme t aumenta, z diminui até se aproximar de 0.
  3. Trace a curva: Comece no ponto (1, 0, 1) e faça a curva dar voltas circulares no plano xy, mas ir descendo no eixo z a cada volta. Isso cria uma hélice que desce suavemente até quase o plano xy.

Passo 5

Agora, vamos indicar o sentido do percurso:
  • Começo em t = 0: No ponto (1, 0, 1).
  • Conforme t aumenta: A curva dá voltas no sentido anti-horário no plano xy enquanto desce no eixo z.
Então, a seta que indicará o sentido da curva deve começar em (1, 0, 1) e seguir no sentido anti-horário descendo.

Resposta

Desenhando a curva gamma(t) = (cos t, sin t, e^-t) para t >= 0, obtemos uma hélice que começa no ponto (1, 0, 1) no espaço tridimensional. À medida que t aumenta, a hélice dá voltas circulares no plano xy no sentido anti-horário enquanto desce exponencialmente no eixo z, aproximando-se do plano xy sem nunca tocá-lo completamente. O sentido do percurso é indicado por uma seta que percorre a hélice de cima para baixo no sentido anti-horário.

Exercícios relacionados