Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede para desenhar a imagem da curva (ou seja, o lugar geométrico dos pontos
no plano). Informações relevantes fornecidas:
- A coordenada
é . - A coordenada
é . - O parâmetro
varia livremente em (logo a curva é periódica).
A partir disso vamos encontrar uma equação sem parâmetro, pontos notáveis, simetrias, comportamento das tangentes e a orientação para poder desenhar corretamente.
Passo 2
Eliminar o parâmetro para obter uma equação cartesiana da curva (isso ajuda muito a esboçar).
Usar a identidade trigonométrica . Como
, temos
. Então
Usar a identidade trigonométrica
Para eliminar
escrevemos
. Elevando ao quadrado a expressão para
:
Portanto a imagem satisfaz a equação implícita
Passo 3
Determinar o domínio em
e faixa de
:
- Como
, tem-se . - Da equação implícita, para
o lado direito é , e (veremos o máximo em seguida). Logo .
Então a imagem está contida no retângulo.
Passo 4
Analisar simetrias:
- A equação usa
e ; logo se pertence à curva então também pertence: simetria em relação ao eixo (simetria vertical de sinal de ). Mais precisamente, a curva é simétrica em relação ao eixo . - Como a equação depende de
, trocar por não altera a equação. Logo a curva é simétrica em relação ao eixo também.
Portanto a curva é simétrica em ambos os eixos.
Passo 5
Encontrar pontos notáveis calculando pontos para valores simples de
:
-
: . -
: . -
: . -
: (mesmo ponto da curva, parámetro diferente → auto-interseção). -
: . -
: . - Usando simetrias, os pontos
e também aparecem para outros .
Resumo de pontos-chave que devem ser marcados no desenho:
Passo 6
Determinar máximos e mínimos de
em função de
(ajuda a entender a forma das laçadas):
A função para
. Calcular
:
A função
Zerando:
dá
ou
.
- Em
tem . - Em
tem .
Logo os extremos desão atingidos em . Isso confirma os pontos encontrados antes.
Passo 7
Identificar auto-interseção e tangentes nesse ponto:
- A origem
é uma auto-interseção porque ocorre para e (parâmetros diferentes).
Calcular a velocidade:
Avaliar em
:
A inclinação da tangente aí é
.
Avaliar em :
Avaliar em
inclinação
.
Portanto na origem as duas ramas se cruzam com inclinações e
— é um cruzamento em forma de X, não um nó suave.
Portanto na origem as duas ramas se cruzam com inclinações
Passo 8
Tangentes verticais e horizontais em pontos extremos:
- Tangente vertical quando
. Em (ponto ) e (ponto ) o vetor velocidade é , ou seja, a tangente é vertical nesses pontos. - Tangente horizontal quando
. Por exemplo em no ponto a tangente é horizontal.
Passo 9
Orientação e como a curva é percorrida quando
aumenta (útil para desenhar com seta de direção):
- Para
variando de a a curva parte de , vai para cima passando por , atinge em e depois vai para baixo até em . Assim, o arco gera uma das laçadas que atravessa a origem. - Para
variando de a obtém-se a outra laçada simétrica (isto é consequência de , que troca o sinal de mantendo ). - Como consequência, a imagem total é formada por duas laçadas (duas “orelhas”) que se cruzam na origem: parece um “8” deitado (ou um laço duplo tipo bow-tie), simétrico em ambos os eixos.
Passo 10
Como desenhar passo a passo (procedimento prático para a prova):
- Desenhar os eixos
e e marcar os pontos , e . - Desenhar uma laçada que vai de
subindo até , depois indo ao cruzamento com inclinação e seguindo para até . Essa é a laçada produzida por . - Desenhar a laçada simétrica em relação ao eixo
(espelhando em ) que vai de para , cruza em com inclinação e volta a . Essa laçada corresponde a . - Indicar setas de orientação: 0→π na primeira laçada, π→2π na segunda.
Dica visual: a curva é uma Lissajous com razão de frequências; é frequentemente chamada de “figure-eight” deitado ou um laço duplo tipo bow-tie.
Resposta
A imagem é a curva de Lissajous com razão
. Equação implícita:
Forma geométrica: duas laçadas (um “8” deitado / bow-tie) que se cruzam na origem
, simétricas em relação aos eixos. Pontos notáveis:
. Orientação: para
percorre-se uma laçada de
até
passando por
e
; para
percorre-se a laçada simétrica.