Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
\sigma(t)=(\cos t, \operatorname{sen} 2 t)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\sigma(t) = (\cos t,\\ \operatorname{sen}2t)
e pede para desenhar a imagem da curva (ou seja, o lugar geométrico dos pontos \sigma(t) no plano). Informações relevantes fornecidas:
  • A coordenada x é x=\cos t.
  • A coordenada y é y=\operatorname{sen}2t.
  • O parâmetro t varia livremente em \mathbb{R} (logo a curva é periódica).
    A partir disso vamos encontrar uma equação sem parâmetro, pontos notáveis, simetrias, comportamento das tangentes e a orientação para poder desenhar corretamente.

Passo 2

Eliminar o parâmetro para obter uma equação cartesiana da curva (isso ajuda muito a esboçar).
Usar a identidade trigonométrica \sin 2t = 2\sin t\cos t. Como x=\cos t, temos \cos t = x. Então
y = \sin 2t = 2\sin t\cos t = 2\sin t\; x.
Para eliminar \sin t escrevemos \sin^2 t = 1-\cos^2 t = 1-x^2. Elevando ao quadrado a expressão para y:
y^2 = 4\sin^2 t\; x^2 = 4x^2(1-x^2).
Portanto a imagem satisfaz a equação implícita
y^2 = 4x^2(1-x^2).

Passo 3

Determinar o domínio em x e faixa de y:
  • Como x=\cos t, tem-se x\in[-1,1].
  • Da equação implícita, para x\in[-1,1] o lado direito é \ge0, e y^2\le 1 (veremos o máximo em seguida). Logo y\in[-1,1].
    Então a imagem está contida no retângulo [-1,1]\times[-1,1].

Passo 4

Analisar simetrias:
  • A equação usa x^2 e y^2; logo se (x,y) pertence à curva então (x,-y) também pertence: simetria em relação ao eixo x (simetria vertical de sinal de y). Mais precisamente, a curva é simétrica em relação ao eixo x.
  • Como a equação depende de x^2, trocar x por -x não altera a equação. Logo a curva é simétrica em relação ao eixo y também.
    Portanto a curva é simétrica em ambos os eixos.

Passo 5

Encontrar pontos notáveis calculando pontos para valores simples de t:
  • t=0: \sigma(0)=(\cos 0,\sin 0)=(1,0).
  • t=\pi: \sigma(\pi)=(\cos\pi,\sin 2\pi)=(-1,0).
  • t=\pi/2: \sigma(\pi/2)=(\cos\frac{\pi}{2},\sin\pi)=(0,0).
  • t=3\pi/2: \sigma(3\pi/2)=(0,0) (mesmo ponto da curva, parámetro diferente → auto-interseção).
  • t=\pi/4: \sigma(\pi/4)=\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},1\big).
  • t=3\pi/4: \sigma(3\pi/4)=\big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-1\big).
  • Usando simetrias, os pontos \big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-1\big) e \big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},1\big) também aparecem para outros t.
    Resumo de pontos-chave que devem ser marcados no desenho:
(1,0),\quad (-1,0),\quad (0,0),\quad \Big(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm1\Big).

Passo 6

Determinar máximos e mínimos de y em função de x (ajuda a entender a forma das laçadas):
A função f(x)=y^2=4x^2(1-x^2) para x\in[-1,1]. Calcular f'(x):
f'(x)=8x(1-2x^2).
Zerando: f'(x)=0 x=0 ou x=\pm 1/\sqrt{2}.
  • Em x=0 tem y^2=0\Rightarrow y=0.
  • Em x=\pm 1/\sqrt{2} tem y^2=1\Rightarrow y=\pm1.
    Logo os extremos de |y| são |y|_{\max}=1 atingidos em x=\pm1/\sqrt{2}. Isso confirma os pontos \big(\pm1/\sqrt{2},\pm1\big) encontrados antes.

Passo 7

Identificar auto-interseção e tangentes nesse ponto:
  • A origem (0,0) é uma auto-interseção porque ocorre para t=\pi/2 e t=3\pi/2 (parâmetros diferentes).
    Calcular a velocidade \sigma'(t):
\sigma'(t)=(-\sin t,\\\ 2\cos 2t).
Avaliar em t=\pi/2:
\sigma'(\pi/2)=(-1,\\\ 2\cos\pi)=(-1,-2).
A inclinação da tangente aí é \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-2}{-1}=2.
Avaliar em t=3\pi/2:
\sigma'(3\pi/2)=(1,\\\ 2\cos 3\pi)=(1,-2),
inclinação \dfrac{-2}{1}=-2.
Portanto na origem as duas ramas se cruzam com inclinações 2 e -2 — é um cruzamento em forma de X, não um nó suave.

Passo 8

Tangentes verticais e horizontais em pontos extremos:
  • Tangente vertical quando x'=-\sin t=0\Rightarrow t=k\pi. Em t=0 (ponto (1,0)) e t=\pi (ponto (-1,0)) o vetor velocidade é (0,2), ou seja, a tangente é vertical nesses pontos.
  • Tangente horizontal quando y'=2\cos 2t=0\Rightarrow \cos 2t=0\Rightarrow t=\pi/4+k\pi/2. Por exemplo em t=\pi/4 no ponto \big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},1\big) a tangente é horizontal.

Passo 9

Orientação e como a curva é percorrida quando t aumenta (útil para desenhar com seta de direção):
  • Para t variando de 0 a \pi a curva parte de (1,0), vai para cima passando por \big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},1\big), atinge (0,0) em t=\pi/2 e depois vai para baixo até (-1,0) em t=\pi. Assim, o arco [0,\pi] gera uma das laçadas que atravessa a origem.
  • Para t variando de \pi a 2\pi obtém-se a outra laçada simétrica (isto é consequência de \sigma(t+\pi)=(-\cos t,\sin 2t)=(-x,y), que troca o sinal de x mantendo y).
  • Como consequência, a imagem total é formada por duas laçadas (duas “orelhas”) que se cruzam na origem: parece um “8” deitado (ou um laço duplo tipo bow-tie), simétrico em ambos os eixos.

Passo 10

Como desenhar passo a passo (procedimento prático para a prova):
  1. Desenhar os eixos x e y e marcar os pontos (\pm1,0), (0,0) e \big(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}},\pm1\big).
  2. Desenhar uma laçada que vai de (1,0) subindo até \big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},1\big), depois indo ao cruzamento (0,0) com inclinação 2 e seguindo para \big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-1\big) até (-1,0). Essa é a laçada produzida por t\in[0,\pi].
  3. Desenhar a laçada simétrica em relação ao eixo y (espelhando em x=0) que vai de (-1,0) para \big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},1\big), cruza em (0,0) com inclinação -2 e volta a (1,0). Essa laçada corresponde a t\in[\pi,2\pi].
  4. Indicar setas de orientação: 0→π na primeira laçada, π→2π na segunda.
    Dica visual: a curva é uma Lissajous com razão de frequências 1:2; é frequentemente chamada de “figure-eight” deitado ou um laço duplo tipo bow-tie.

Resposta

A imagem é a curva de Lissajous com razão 1:2. Equação implícita:
y^2 = 4x^2(1-x^2),\quad x\in[-1,1].
Forma geométrica: duas laçadas (um “8” deitado / bow-tie) que se cruzam na origem (0,0), simétricas em relação aos eixos. Pontos notáveis: (1,0),(-1,0),(0,0),\big(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}},\pm1\big). Orientação: para t\in[0,\pi] percorre-se uma laçada de (1,0) até (-1,0) passando por \big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},1\big) e (0,0); para t\in[\pi,2\pi] percorre-se a laçada simétrica.

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