Desenhe o mapa de contorno do gráfico de z=f(x, y) mostrando as linhas de contorno correspondentes aos valores de z dados:
f(x, y)=x^2-y^2+20 para x >= 0.
z=0, z=10, z=20, z=30, z=40

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (linhas de nível) da função f(x,y)=x^2 - y^2 + 20 no semi-plano x>=0, para os valores z=0,10,20,30,40. O conteúdo é curvas de nível e vamos precisar escrever x^2 - y^2 + 20 = z e identificar que são hipérboles (ou, no caso z=20, retas) restritas a x>=0.

Passo 2

As curvas de nível satisfazem
x^2 - y^2 + 20 = z
ou equivalentemente
x^2 - y^2 = z - 20

Passo 3

Para cada valor de z definimos c = z - 20 e obtemos a família
x^2 - y^2 = c
  • Se c<0, as hipérboles abrem no sentido vertical (eixo y), com equação y=pmraizx^2 - c.\n- Se c=0, temos x^2 - y^2 =0, i.e. as retas y=pm x.\n- Se c>0, as hipérboles abrem no sentido horizontal (eixo x), com equação x=pmraizy^2 + c.

Passo 4

Agora aplicamos aos cinco níveis dados, lembrando x>=0:
  • Para z=0: c=-20 → hipérboles verticais y=pmraizx^2 +20, x>=0
  • Para z=10: c=-10 y=pmraizx^2 +10, x>=0
  • Para z=20: c=0 → retas y=pm x, x>=0
  • Para z=30: c=10 → hipérboles horizontais x=raizy^2 +10, x>=0
  • Para z=40: c=20 x=raizy^2 +20, x>=0

Passo 5

Na prática, no papel você desenha o semi-plano x>=0, plota as duas folhas de cada hipérbole (ou as duas retas) e etiqueta cada curva com o valor de z correspondente, lembrando que para c<0 elas se estendem para cima e para baixo, e para c>0 elas se estendem para frente e para trás dentro de x>=0.

Resposta

As curvas de contorno em x>=0 são dadas por:
z=0: y=pmraizx^2+20
z=10: y=pmraizx^2+10
z=20: y=pm x
z=30: x=raizy^2+10
z=40: x=raizy^2+20
Basta desenhar cada uma no semi-plano x>=0 e rotular com o valor de z.

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