Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando os valores de máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão e os intervalos onde as funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo (caso possa ser possível analisar estes itens).
f(x)=sen(x)

Passo 1

Temos a função f(x)=sin(x). O conteúdo é esboço de gráficos via análise de derivadas, e vamos precisar de f’(x) para crescimento e pontos críticos, e de f’’(x) para concavidade e inflexões.

Passo 2

Primeiro, encontramos as derivadas. A derivada primeira é f'(x)=cos(x), que nos diz onde a função cresce ou decresce, e a derivada segunda é f''(x)=-sin(x), que indica concavidade e pontos de inflexão.

Passo 3

Para achar máximos e mínimos usamos f'(x)=0. Isso ocorre quando cos(x)=0, ou seja, em x=pi2+kpi. Avaliando f'' nesses pontos: em x=pi2+2kpi temos f''<0, logo máximo local (x,f(x))=l(pi2+2kpi,1r); em x=3pi2+2kpi temos f''>0, logo mínimo local (x,f(x))=l(3pi2+2kpi,-1r).

Passo 4

Para crescimento e decrescimento usamos o sinal de f'(x)=cos(x). Como cos(x)>0 em l(-tfracpi2+2kpi,tfracpi2+2kpir), a função cresce nesses intervalos. Como cos(x)<0 em l(tfracpi2+2kpi,tfrac3pi2+2kpir), a função decresce nesses intervalos.

Passo 5

Os pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0, isto é, sin(x)=0 em x=kpi. A concavidade é voltada para baixo ( f''<0) quando sin(x)>0, ou seja em (2kpi,(2k+1)pi), e para cima ( f''>0) quando sin(x)<0, em ((2k+1)pi,2(k+1)pi).

Passo 6

Com todas essas informações, esboçamos a senóide: período 2pi, amplitude 1, máximos em y=1 e mínimos em y=-1, alternando crescimento e decrescimento a cada meio-período, com inflexões em cada múltiplo de pi.

Resposta

A função f(x)=sin(x) é uma senóide de amplitude 1 e período 2pi. Apresenta máximos em l(tfracpi2+2kpi,1r), mínimos em l(tfrac3pi2+2kpi,-1r), cresce em l(-tfracpi2+2kpi,tfracpi2+2kpir), decresce em l(tfracpi2+2kpi,tfrac3pi2+2kpir), tem pontos de inflexão em x=kpi, concavidade voltada para baixo em (2kpi,(2k+1)pi) e para cima em ((2k+1)pi,2(k+1)pi), para todo inteiro k.

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