Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando os valores de máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão e os intervalos onde as funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo (caso possa ser possível analisar estes itens).
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo é esboço de gráficos via análise de derivadas, e vamos precisar de f’(x) para crescimento e pontos críticos, e de f’’(x) para concavidade e inflexões.
Passo 2
Primeiro, encontramos as derivadas. A derivada primeira é
, que nos diz onde a função cresce ou decresce, e a derivada segunda é
, que indica concavidade e pontos de inflexão.
Passo 3
Para achar máximos e mínimos usamos
. Isso ocorre quando
, ou seja, em
. Avaliando
nesses pontos: em
temos
, logo máximo local
; em
temos
, logo mínimo local
.
Passo 4
Para crescimento e decrescimento usamos o sinal de
. Como
em
, a função cresce nesses intervalos. Como
em
, a função decresce nesses intervalos.
Passo 5
Os pontos de inflexão ocorrem onde
, isto é,
em
. A concavidade é voltada para baixo (
) quando
, ou seja em
, e para cima (
) quando
, em
.
Passo 6
Com todas essas informações, esboçamos a senóide: período
, amplitude 1, máximos em
e mínimos em
, alternando crescimento e decrescimento a cada meio-período, com inflexões em cada múltiplo de
.
Resposta
A função
é uma senóide de amplitude 1 e período
. Apresenta máximos em
, mínimos em
, cresce em
, decresce em
, tem pontos de inflexão em
, concavidade voltada para baixo em
e para cima em
, para todo inteiro
.