Desenhe, pelo menos, quatro vetores de cada campo vetorial
e em seguida faça a correspondência entre as funções vetoriais
e os gráficos de seus campos vetoriais.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede-se desenhar, em cada campo vetorial fornecido, pelo menos quatro vetores do campo e em seguida fazer a correspondência entre a função vetorial e o gráfico do seu campo vetorial.
- A função vetorial dada é
. - Informação explícita que vamos usar: cada componente depende apenas de uma das coordenadas (a componente
depende de e a componente depende de ). Não há outras funções nem imagens fornecidas pelo enunciado.
Passo 2
Entendendo a fórmula e o que significa calcular um vetor do campo num ponto:
- Por definição, o vetor do campo no ponto
é
Aqui:
- a primeira coordenada (componente horizontal) é
. Isso quer dizer que a componente horizontal só depende de . - a segunda coordenada (componente vertical) é
. Isso quer dizer que a componente vertical só depende de . - Propriedades úteis da função logarítmica neste contexto:
- Para todo
vale , com igualdade apenas quando . Como e , temos sempre e . - Como as componentes dependem de
e , cada componente é uma função par: . Isso implica simetria em relação aos eixos.
- Para todo
- Consequência imediata: todas as componentes são não negativas, então todos os vetores apontam para o quadrante nordeste (direção com ambas componentes
), ou ao longo dos eixos quando uma componente for zero.
Passo 3
Escolha de pontos para desenhar vetores (vou calcular explicitamente pelo menos quatro). Para cada ponto calculo
com
e
.
- Ponto
: Vetor: (vetor nulo). - Ponto
: Vetor: . Interpretação: seta vertical para cima. - Ponto
: Vetor: . Interpretação: seta horizontal para a direita. - Ponto
: Vetor: . Interpretação: seta diagonal nordeste (45º), comprimento maior que nos dois anteriores. - Ponto
(exemplo extra para ver variação do comprimento): Vetor: . Interpretação: seta mais inclinada para cima e maior comprimento vertical. - Ponto
(mostra a simetria par): Vetor: , mesmo que em . Isso mostra que o campo é par em .
Passo 4
Como transformar esses cálculos num desenho (orientações práticas para você desenhar na prova):
- Em cada ponto
desenhe um vetor com as componentes calculadas. Como as componentes são números positivos (ou zero), as setas sempre apontam para o canto nordeste (direção com ângulo entre e ), exceto nos eixos onde uma componente pode ser zero. - Escala: escolha uma escala razoável para a prova (por exemplo, 1 unidade no eixo do papel corresponde a
na componente logarítmica). Não se preocupe em ser exato: o importante é direção, sentido e variação do tamanho relativo. - Pontos-chave a marcar no desenho:
-
: vetor nulo. - Ao longo do eixo
(ou seja, ): os vetores são verticais para cima, de magnitude . Em e os vetores são iguais e apontam para cima com magnitude . - Ao longo do eixo
(ou seja, ): os vetores são horizontais para a direita, de magnitude . Em e os vetores são iguais e apontam para a direita com magnitude . - Fora dos eixos, ambos componentes são positivos e crescem quando
ou crescem; por exemplo, em a componente vertical é maior que em , então o vetor é mais comprido verticalmente.
-
- Simetria: como as componentes dependem de quadrados, o campo é simétrico em relação ao eixo
e ao eixo : os vetores em , , e têm as mesmas componentes numéricas, logo são cópias espelhadas.
Passo 5
Interpretação global do gráfico (a “correspondência” pedida entre a função vetorial e o gráfico do campo):
- O gráfico do campo associado a
deve mostrar vetores que: - apontam sempre para o quadrante nordeste (direção com ambas componentes
); - são nulos em
; - ao longo do eixo
(onde ) são verticais para cima, com comprimento ; - ao longo do eixo
(onde ) são horizontais para a direita, com comprimento ; - apresentam simetria par em relação aos eixos (mesmos vetores para
e , e para e ); - têm magnitude que aumenta quando
ou aumentam (porque cresce quando cresce).
- apontam sempre para o quadrante nordeste (direção com ambas componentes
- Portanto, ao receber vários gráficos, você deve escolher aquele que exibe vetores apontando consistentemente para nordeste, com vetor nulo no centro e vetores nos eixos alinhados com os próprios eixos (e simetria em quadrantes).
Resposta
Vetores desenhados (valores exatos e aproximações):
Correspondência geral com o gráfico do campo vetorial:
A função corresponde ao gráfico cujo campo mostra vetores sempre apontando para o quadrante nordeste (ou ao longo dos eixos quando uma componente é zero), vetor nulo em
, simetria par em
e
, e aumento do comprimento dos vetores conforme
ou
aumentam.
A função