Desenhe, pelo menos, quatro vetores de cada campo vetorial \vec{F} e em seguida faça a correspondência entre as funções vetoriais \vec{F} e os gráficos de seus campos vetoriais.
\mathbf{F}(\mathrm{x})=\left\langle\ln \left(1+y^{2}\right), \ln \left(1+x^{2}\right)\right\rangle

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se desenhar, em cada campo vetorial fornecido, pelo menos quatro vetores do campo e em seguida fazer a correspondência entre a função vetorial e o gráfico do seu campo vetorial.
  • A função vetorial dada é \mathbf{F}(x,y)=\left\langle \ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr),\; \ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr)\right\rangle.
  • Informação explícita que vamos usar: cada componente depende apenas de uma das coordenadas (a componente x depende de y e a componente y depende de x). Não há outras funções nem imagens fornecidas pelo enunciado.

Passo 2

Entendendo a fórmula e o que significa calcular um vetor do campo num ponto:
  • Por definição, o vetor do campo no ponto (x,y) é
\mathbf{F}(x,y)=\left\langle \ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr),\; \ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr)\right\rangle.
Aqui:
  • a primeira coordenada (componente horizontal) é \ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr). Isso quer dizer que a componente horizontal só depende de y.
  • a segunda coordenada (componente vertical) é \ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr). Isso quer dizer que a componente vertical só depende de x.
  • Propriedades úteis da função logarítmica neste contexto:
    • Para todo u\ge 0 vale \ln(1+u)\ge 0, com igualdade apenas quando u=0. Como y^{2}\ge 0 e x^{2}\ge 0, temos sempre \ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr)\ge 0 e \ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr)\ge 0.
    • Como as componentes dependem de x^{2} e y^{2}, cada componente é uma função par: \ln(1+(-x)^{2})=\ln(1+x^{2}). Isso implica simetria em relação aos eixos.
  • Consequência imediata: todas as componentes são não negativas, então todos os vetores apontam para o quadrante nordeste (direção com ambas componentes \ge 0), ou ao longo dos eixos quando uma componente for zero.

Passo 3

Escolha de pontos para desenhar vetores (vou calcular explicitamente pelo menos quatro). Para cada ponto calculo \mathbf{F}(x,y)=\langle F_{1},F_{2}\rangle com F_{1}=\ln(1+y^{2}) e F_{2}=\ln(1+x^{2}).
  • Ponto (0,0): F_{1}=\ln(1+0^{2})=\ln(1)=0,\qquad F_{2}=\ln(1+0^{2})=\ln(1)=0.Vetor: \mathbf{F}(0,0)=\langle 0,0\rangle (vetor nulo).
  • Ponto (1,0): F_{1}=\ln(1+0^{2})=\ln(1)=0,\qquad F_{2}=\ln(1+1^{2})=\ln(2).Vetor: \mathbf{F}(1,0)=\langle 0,\ln(2)\rangle\approx\langle 0,\,0,693\rangle. Interpretação: seta vertical para cima.
  • Ponto (0,1): F_{1}=\ln(1+1^{2})=\ln(2),\qquad F_{2}=\ln(1+0^{2})=\ln(1)=0.Vetor: \mathbf{F}(0,1)=\langle \ln(2),0\rangle\approx\langle 0,693,\,0\rangle. Interpretação: seta horizontal para a direita.
  • Ponto (1,1): F_{1}=\ln(1+1^{2})=\ln(2),\qquad F_{2}=\ln(1+1^{2})=\ln(2).Vetor: \mathbf{F}(1,1)=\langle \ln(2),\ln(2)\rangle\approx\langle 0,693,\,0,693\rangle. Interpretação: seta diagonal nordeste (45º), comprimento maior que nos dois anteriores.
  • Ponto (2,1) (exemplo extra para ver variação do comprimento): F_{1}=\ln(1+1^{2})=\ln(2)\approx 0,693,\qquad F_{2}=\ln(1+2^{2})=\ln(5)\approx 1,609.Vetor: \mathbf{F}(2,1)=\langle \ln(2),\ln(5)\rangle\approx\langle 0,693,\,1,609\rangle. Interpretação: seta mais inclinada para cima e maior comprimento vertical.
  • Ponto (-1,0) (mostra a simetria par): F_{1}=\ln(1+0^{2})=0,\qquad F_{2}=\ln(1+(-1)^{2})=\ln(2).Vetor: \mathbf{F}(-1,0)=\langle 0,\ln(2)\rangle, mesmo que em (1,0). Isso mostra que o campo é par em x.

Passo 4

Como transformar esses cálculos num desenho (orientações práticas para você desenhar na prova):
  • Em cada ponto (x,y) desenhe um vetor com as componentes calculadas. Como as componentes são números positivos (ou zero), as setas sempre apontam para o canto nordeste (direção com ângulo entre 0^\circ e 90^\circ), exceto nos eixos onde uma componente pode ser zero.
  • Escala: escolha uma escala razoável para a prova (por exemplo, 1 unidade no eixo do papel corresponde a 0,5 na componente logarítmica). Não se preocupe em ser exato: o importante é direção, sentido e variação do tamanho relativo.
  • Pontos-chave a marcar no desenho:
    • (0,0): vetor nulo.
    • Ao longo do eixo x (ou seja, y=0): os vetores são verticais para cima, de magnitude \ln(1+x^{2}). Em (1,0) e (-1,0) os vetores são iguais e apontam para cima com magnitude \ln(2).
    • Ao longo do eixo y (ou seja, x=0): os vetores são horizontais para a direita, de magnitude \ln(1+y^{2}). Em (0,1) e (0,-1) os vetores são iguais e apontam para a direita com magnitude \ln(2).
    • Fora dos eixos, ambos componentes são positivos e crescem quando |x| ou |y| crescem; por exemplo, em (2,1) a componente vertical é \ln(5) maior que em (1,1), então o vetor é mais comprido verticalmente.
  • Simetria: como as componentes dependem de quadrados, o campo é simétrico em relação ao eixo y e ao eixo x: os vetores em (x,y), (-x,y), (x,-y) e (-x,-y) têm as mesmas componentes numéricas, logo são cópias espelhadas.

Passo 5

Interpretação global do gráfico (a “correspondência” pedida entre a função vetorial e o gráfico do campo):
  • O gráfico do campo associado a \mathbf{F} deve mostrar vetores que:
    • apontam sempre para o quadrante nordeste (direção com ambas componentes \ge 0);
    • são nulos em (0,0);
    • ao longo do eixo x (onde y=0) são verticais para cima, com comprimento \ln(1+x^{2});
    • ao longo do eixo y (onde x=0) são horizontais para a direita, com comprimento \ln(1+y^{2});
    • apresentam simetria par em relação aos eixos (mesmos vetores para x e -x, e para y e -y);
    • têm magnitude que aumenta quando |x| ou |y| aumentam (porque \ln(1+u^{2}) cresce quando |u| cresce).
  • Portanto, ao receber vários gráficos, você deve escolher aquele que exibe vetores apontando consistentemente para nordeste, com vetor nulo no centro e vetores nos eixos alinhados com os próprios eixos (e simetria em quadrantes).

Resposta

Vetores desenhados (valores exatos e aproximações):
\mathbf{F}(0,0)=\langle 0,0\rangle
\mathbf{F}(1,0)=\langle 0,\ln(2)\rangle\approx\langle 0,\,0,693\rangle
\mathbf{F}(0,1)=\langle \ln(2),0\rangle\approx\langle 0,693,\,0\rangle
\mathbf{F}(1,1)=\langle \ln(2),\ln(2)\rangle\approx\langle 0,693,\,0,693\rangle
\mathbf{F}(2,1)=\langle \ln(2),\ln(5)\rangle\approx\langle 0,693,\,1,609\rangle
Correspondência geral com o gráfico do campo vetorial:
A função \mathbf{F} corresponde ao gráfico cujo campo mostra vetores sempre apontando para o quadrante nordeste (ou ao longo dos eixos quando uma componente é zero), vetor nulo em (0,0), simetria par em x e y, e aumento do comprimento dos vetores conforme |x| ou |y| aumentam.

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