1. Encontre a área entre a parábola x=-y^{2} e a reta y=x+2. (R:9/2)

Passo 1

O enunciado dá as duas curvas:
x = -y^{2}
e
y = x + 2.
O que se pede: encontrar a área da região limitada por essas duas curvas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parábola está dada como x em função de y: x=-y^{2}.
  • A reta está dada como y em função de x: y=x+2 (que pode ser escrita como x=y-2).
  • A região limitada será delimitada pelas interseções das duas curvas (valores de y onde elas se cruzam).

Passo 2

Decidir a forma de integrar (explicação didática).
Para calcular áreas entre curvas existem duas abordagens comuns:
  • integrar em relação a x: usar fatias verticais e integrar (y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}})\,dx;
  • integrar em relação a y: usar fatias horizontais e integrar (x_{\text{right}}-x_{\text{left}})\,dy.
Aqui é preferível integrar em relação a y porque ambas as curvas podem ser escritas facilmente como x em função de y:
\text{parábola: }x=-y^{2},\qquad \text{reta: }x=y-2.á
Isso facilita calcular a diferença horizontal (x_{\text{right}}-x_{\text{left}}) como função de y. Vou, portanto, usar
\text{Área}=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\bigl(x_{\text{right}}(y)-x_{\text{left}}(y)\bigr)\,dy.Á

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção (valores de y que limitam a integração).
As curvas se intersectam quando suas expressões para x são iguais. Igualando x=-y^{2} e x=y-2 temos:
-y^{2}=y-2.
Reescrevendo tudo num lado:
-y^{2}-y+2=0\quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}+y-2=0.
Fatorando:
y^{2}+y-2=(y+2)(y-1)=0.
Portanto as interseções ocorrem em
y=-2\quad\text{e}\quad y=1.

Passo 4

Determinar qual curva é a borda direita e qual é a esquerda no intervalo de integração. (Importante para o sinal da integral.)
Compare x das duas curvas: x_{\text{parábola}}=-y^{2}á e x_{\text{reta}}=y-2. Para valores intermediários de y (por exemplo y=0) temos
x_{\text{parábola}}(0)=0,\qquad x_{\text{reta}}(0)=-2,á
ou seja, a parábola dá um x maior (mais à direita) e a reta fica à esquerda. Em termos algébricos, no intervalo y\in[-2,1] tem-se
-y^{2}\ge y-2,
portanto
x_{\text{right}}(y)=-y^{2},\qquad x_{\text{left}}(y)=y-2.

Passo 5

Montar a integral para a área usando fatias horizontais.
A área é
\text{Área}=\int_{y=-2}^{y=1}\bigl(x_{\text{right}}(y)-x_{\text{left}}(y)\bigr)\,dy =\int_{-2}^{1}\bigl(-y^{2}-(y-2)\bigr)\,dy.Á
Simplificando o integrando:
-y^{2}-(y-2)=-y^{2}-y+2.
Então
\text{Área}=\int_{-2}^{1}\bigl(-y^{2}-y+2\bigr)\,dy.Á

Passo 6

Calcular a integral passo a passo (antiderivada e avaliação nos limites).
Primeiro, encontre a antiderivada ponto a ponto:
\int\bigl(-y^{2}-y+2\bigr)\,dy=-\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{2}}{2}+2y + C.
Agora avaliar de -2 até 1.
Avaliação em y=1:
-\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{2}}{2}+2\cdot1=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2.
Colocando em denominador comum 6:
-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2=\frac{-2-3+12}{6}=\frac{7}{6}.
Avaliação em y=-2:
-\frac{(-2)^{3}}{3}-\frac{(-2)^{2}}{2}+2(-2)=-\frac{-8}{3}-\frac{4}{2}-4=\frac{8}{3}-2-4.
Calcule:
\frac{8}{3}-2-4=\frac{8}{3}-6=\frac{8-18}{3}=-\frac{10}{3}.
Agora a diferença F(1)-F(-2):
\text{Área}=\frac{7}{6}-\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{7}{6}+\frac{10}{3}=\frac{7}{6}+\frac{20}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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