- Encontre a área entre a parábola
e a reta
. (R:9/2)
Passo 1
O enunciado dá as duas curvas:
e
O que se pede: encontrar a área da região limitada por essas duas curvas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A parábola está dada como
em função de : . - A reta está dada como
em função de : (que pode ser escrita como ). - A região limitada será delimitada pelas interseções das duas curvas (valores de
onde elas se cruzam).
Passo 2
Decidir a forma de integrar (explicação didática).
Para calcular áreas entre curvas existem duas abordagens comuns:
Para calcular áreas entre curvas existem duas abordagens comuns:
- integrar em relação a
: usar fatias verticais e integrar ; - integrar em relação a
: usar fatias horizontais e integrar .
Aqui é preferível integrar em relação a
porque ambas as curvas podem ser escritas facilmente como
em função de
:
Isso facilita calcular a diferença horizontal
como função de
. Vou, portanto, usar
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção (valores de
que limitam a integração).
As curvas se intersectam quando suas expressões para são iguais. Igualando
e
temos:
As curvas se intersectam quando suas expressões para
Reescrevendo tudo num lado:
Fatorando:
Portanto as interseções ocorrem em
Passo 4
Determinar qual curva é a borda direita e qual é a esquerda no intervalo de integração. (Importante para o sinal da integral.)
Compare das duas curvas:
e
. Para valores intermediários de
(por exemplo
) temos
Compare
ou seja, a parábola dá um
maior (mais à direita) e a reta fica à esquerda. Em termos algébricos, no intervalo
tem-se
portanto
Passo 5
Montar a integral para a área usando fatias horizontais.
A área é
A área é
Simplificando o integrando:
Então
Passo 6
Calcular a integral passo a passo (antiderivada e avaliação nos limites).
Primeiro, encontre a antiderivada ponto a ponto:
Primeiro, encontre a antiderivada ponto a ponto:
Agora avaliar de
até
.
Avaliação em
:
Colocando em denominador comum
:
Avaliação em
:
Calcule:
Agora a diferença
: