Determine o centro de massa da lâmina que ocupa a região
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2 ;-1 \leq y \leq 1\}, \rho(x, y)=x y^{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Região ocupada pela lâmina:
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;-1\le y\le 1\}.
  • Densidade superficial (variando com x,y):
\rho(x,y)=x\,y^{2}.
  • O enunciado pede: determinar o centro de massa da lâmina, ou seja encontrar as coordenadas \bar{x} e \bar{y} do centro de massa.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A região D é um retângulo com largura em x de 0 a 2 e em y de -1 a 1.
  • A densidade depende de x e de y^{2}; em particular é par em y (porque envolve y^{2}).

Passo 2

Fórmulas que vamos usar (explicadas):
  • Massa total M da lâmina:
M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA,
onde dA é o elemento de área (podemos tomar dA=dy\,dx ou dx\,dy para integrar iteradamente).
  • Coordenadas do centro de massa:
\bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA, \qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.
Significado das variáveis:
  • \rho(x,y) é a massa por unidade de área no ponto (x,y).
  • M é a massa total.
  • \bar{x},\bar{y} são as coordenadas do centro de massa (ponto onde se concentra a massa equivalente).
Como D é um retângulo, as integrais iteradas ficam com limites constantes e dá para separar integrais em x e y quando o integrando é produto de funções de x e de y.

Passo 3

Cálculo da massa M:
Montamos a integral iterada escolhendo integrar primeiro em y (mais natural aqui):
M=\int_{x=0}^{2}\int_{y=-1}^{1} \rho(x,y)\,dy\,dx =\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} x\,y^{2}\,dy\,dx.
Avaliaremos a integral interna em y. Lembrando a primitiva de y^{2}:
\int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}.
Portanto
\int_{-1}^{1} y^{2}\,dy=\left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{-1}^{1} =\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3} =\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right) =\frac{2}{3}.
Substituindo esse resultado na integral em x:
M=\int_{0}^{2} x\left(\frac{2}{3}\right)\,dx=\frac{2}{3}\int_{0}^{2} x\,dx.
Agora a primitiva de x é x^{2}/2, então
\int_{0}^{2} x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{2}=\frac{4}{2}=2.
Logo
M=\frac{2}{3}\cdot 2=\frac{4}{3}.

Passo 4

Observação de simetria que simplifica \bar{y}:
A expressão para o numerador de \bar{y} é
\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA=\iint_{D} y\,(x\,y^{2})\,dA=\iint_{D} x\,y^{3}\,dA.
Note que y^{3} é função ímpar de y (isto é, y^{3}=-(-y)^{3}). Como os limites em y são simétricos ( -1 a 1), a integral de qualquer função ímpar em y sobre esse intervalo é zero. Mais detalhado:
\int_{-1}^{1} y^{3}\,dy=\left.\frac{y^{4}}{4}\right|_{-1}^{1} =\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0.
Assim, para cada x,
\int_{-1}^{1} x\,y^{3}\,dy = x\cdot 0 = 0,
e integrando em x obtém-se zero. Portanto o numerador de \bar{y} é 0, logo
\bar{y}=0.
Intuição física: a densidade é par em y (mesma massa acima e abaixo do eixo x), então o centro de massa fica no próprio eixo x.

Passo 5

Cálculo do momento para \bar{x} (numerador de \bar{x}):
O numerador é
\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA=\iint_{D} x\,(x\,y^{2})\,dA=\iint_{D} x^{2}y^{2}\,dA.
Escrevendo como integral iterada:
\iint_{D} x^{2}y^{2}\,dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} x^{2}y^{2}\,dy\,dx.
Integramos em y primeiro; como x^{2} é constante em relação a y:
\int_{-1}^{1} x^{2}y^{2}\,dy = x^{2}\int_{-1}^{1} y^{2}\,dy = x^{2}\cdot\frac{2}{3},
onde usamos o resultado \int_{-1}^{1} y^{2}\,dy=\tfrac{2}{3} calcado no Passo 3.
Agora integramos em x:
\iint_{D} x^{2}y^{2}\,dA = \int_{0}^{2} x^{2}\cdot\frac{2}{3}\,dx = \frac{2}{3}\int_{0}^{2} x^{2}\,dx.
A primitiva de x^{2} é x^{3}/3, então
\int_{0}^{2} x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{2}=\frac{8}{3}.
Portanto
\iint_{D} x^{2}y^{2}\,dA = \frac{2}{3}\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{9}.
Agora calculamos \bar{x} dividindo esse momento pela massa M (que encontramos no Passo 3):
\bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA =\frac{1}{\tfrac{4}{3}}\cdot\frac{16}{9} =\frac{16}{9}\cdot\frac{3}{4}.
Fazendo a multiplicação:
\frac{16}{9}\cdot\frac{3}{4}=\frac{16\cdot 3}{9\cdot 4}=\frac{48}{36}=\frac{4}{3}.

Resposta

\left(\dfrac{4}{3},\,0\right)

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