Desenhe passo a passo o diagrama de bode para as seguintes funções de transferência:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de desenho do diagrama de Bode para a função de transferência $ G(s) = \frac{200s}{(s+2)(s+10)} $. Isso faz parte da matéria de Sistemas de Controle, onde aprendemos a representar a resposta em frequência de sistemas lineares e invariantes no tempo. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a função de transferência em fatores básicos e como cada um deles contribui para o diagrama de magnitude e fase.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da função de transferência $ G(s) = \frac{200s}{(s+2)(s+10)} $. Aqui, podemos ver que temos:
- Um ganho constante de 200.
- Um zero em $ s = 0 $ (porque o numerador tem um $ s $).
- Dois polos, um em $ s = -2 $ e outro em $ s = -10 $.
Entender esses componentes é fundamental porque cada um adiciona características específicas ao diagrama de Bode.
Passo 3
Vamos começar pelo ganho constante de 200. No diagrama de Bode de magnitude, o ganho é representado em decibéis (dB) e é calculado usando a fórmula:
Então, esse ganho adiciona uma linha horizontal a +46 dB no diagrama de magnitude.
Passo 4
Agora, vamos tratar do zero em $ s = 0 $. Um zero adiciona uma inclinação de +20 dB/decaída a partir da frequência de canto, que nesse caso é 0 rad/s. No entanto, como o zero está em 0, ele afeta todas as frequências, então começamos a aumentar a inclinação imediatamente a partir de baixas frequências.
No diagrama de fase, um zero em $ s = 0 $ adiciona uma fase de +90° constante.
Passo 5
Passando para os polos, começamos com o polo em $ s = -2 $. Cada polo adiciona uma inclinação de -20 dB/decaída a partir de sua frequência de canto, que aqui é 2 rad/s. Portanto, a partir de 2 rad/s, a magnitude começa a diminuir a uma taxa de -20 dB/decaída por década.
No diagrama de fase, um polo em $ s = -2 $ contribui com -45° na faixa de transição.
Passo 6
O segundo polo é em $ s = -10 $. Similar ao polo anterior, ele adiciona uma inclinação de -20 dB/decaída a partir de sua frequência de canto de 10 rad/s. Assim, a partir de 10 rad/s, a inclinação total da magnitude será de -40 dB/decaída por década.
No diagrama de fase, esse polo adiciona mais -45°, totalizando -90° na faixa de transição.
Passo 7
Agora, vamos combinar todos esses componentes para construir o diagrama de Bode:
-
Magnitude:
- Começa com +46 dB devido ao ganho.
- A partir de 0 rad/s, devido ao zero, a inclinação aumenta para +20 dB/decaída.
- A partir de 2 rad/s, um polo reduz essa inclinação para 0 dB/decaída (20 - 20).
- Finalmente, a partir de 10 rad/s, o segundo polo reduz a inclinação para -20 dB/decaída (0 - 20).
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Fase:
- Começa com +90° devido ao zero.
- A partir de 2 rad/s, a fase começa a diminuir, chegando a -45°.
- A partir de 10 rad/s, continua diminuindo até -90°.
Resposta
O diagrama de Bode para $ G(s) = \frac{200s}{(s+2)(s+10)} $ apresenta:
-
Magnitude:
- Inicia em aproximadamente +46 dB.
- Aumenta com uma inclinação de +20 dB/decaída a partir de 0 rad/s devido ao zero.
- Reduz a inclinação para 0 dB/decaída a partir de 2 rad/s devido ao primeiro polo.
- Reduz novamente para -20 dB/decaída a partir de 10 rad/s devido ao segundo polo.
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Fase:
- Começa em +90° devido ao zero.
- Diminui gradualmente, chegando a -45° após 2 rad/s.
- Continua diminuindo até -90° após 10 rad/s.
Esse comportamento reflete a influência combinada do ganho, do zero e dos polos na resposta em frequência do sistema.