Desenhe passo a passo o diagrama de bode para as seguintes funções de transferência:
a) G(s)=200 s(s+2)(s+10), s=j omega

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de desenho do diagrama de Bode para a função de transferência $ G(s) = \frac{200s}{(s+2)(s+10)} $. Isso faz parte da matéria de Sistemas de Controle, onde aprendemos a representar a resposta em frequência de sistemas lineares e invariantes no tempo. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a função de transferência em fatores básicos e como cada um deles contribui para o diagrama de magnitude e fase.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da função de transferência $ G(s) = \frac{200s}{(s+2)(s+10)} $. Aqui, podemos ver que temos:
  • Um ganho constante de 200.
  • Um zero em $ s = 0 $ (porque o numerador tem um $ s $).
  • Dois polos, um em $ s = -2 $ e outro em $ s = -10 $.
Entender esses componentes é fundamental porque cada um adiciona características específicas ao diagrama de Bode.

Passo 3

Vamos começar pelo ganho constante de 200. No diagrama de Bode de magnitude, o ganho é representado em decibéis (dB) e é calculado usando a fórmula:
20 log10(200) approx 46 , dB
Então, esse ganho adiciona uma linha horizontal a +46 dB no diagrama de magnitude.

Passo 4

Agora, vamos tratar do zero em $ s = 0 $. Um zero adiciona uma inclinação de +20 dB/decaída a partir da frequência de canto, que nesse caso é 0 rad/s. No entanto, como o zero está em 0, ele afeta todas as frequências, então começamos a aumentar a inclinação imediatamente a partir de baixas frequências.
No diagrama de fase, um zero em $ s = 0 $ adiciona uma fase de +90° constante.

Passo 5

Passando para os polos, começamos com o polo em $ s = -2 $. Cada polo adiciona uma inclinação de -20 dB/decaída a partir de sua frequência de canto, que aqui é 2 rad/s. Portanto, a partir de 2 rad/s, a magnitude começa a diminuir a uma taxa de -20 dB/decaída por década.
No diagrama de fase, um polo em $ s = -2 $ contribui com -45° na faixa de transição.

Passo 6

O segundo polo é em $ s = -10 $. Similar ao polo anterior, ele adiciona uma inclinação de -20 dB/decaída a partir de sua frequência de canto de 10 rad/s. Assim, a partir de 10 rad/s, a inclinação total da magnitude será de -40 dB/decaída por década.
No diagrama de fase, esse polo adiciona mais -45°, totalizando -90° na faixa de transição.

Passo 7

Agora, vamos combinar todos esses componentes para construir o diagrama de Bode:
  • Magnitude:
    • Começa com +46 dB devido ao ganho.
    • A partir de 0 rad/s, devido ao zero, a inclinação aumenta para +20 dB/decaída.
    • A partir de 2 rad/s, um polo reduz essa inclinação para 0 dB/decaída (20 - 20).
    • Finalmente, a partir de 10 rad/s, o segundo polo reduz a inclinação para -20 dB/decaída (0 - 20).
  • Fase:
    • Começa com +90° devido ao zero.
    • A partir de 2 rad/s, a fase começa a diminuir, chegando a -45°.
    • A partir de 10 rad/s, continua diminuindo até -90°.

Resposta

O diagrama de Bode para $ G(s) = \frac{200s}{(s+2)(s+10)} $ apresenta:
  • Magnitude:
    • Inicia em aproximadamente +46 dB.
    • Aumenta com uma inclinação de +20 dB/decaída a partir de 0 rad/s devido ao zero.
    • Reduz a inclinação para 0 dB/decaída a partir de 2 rad/s devido ao primeiro polo.
    • Reduz novamente para -20 dB/decaída a partir de 10 rad/s devido ao segundo polo.
  • Fase:
    • Começa em +90° devido ao zero.
    • Diminui gradualmente, chegando a -45° após 2 rad/s.
    • Continua diminuindo até -90° após 10 rad/s.
Esse comportamento reflete a influência combinada do ganho, do zero e dos polos na resposta em frequência do sistema.

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