(Hayt - 5.16) Uma linha de transmissão coaxial tem condutores internos e externos de raios a e b, respectivamente. Entre os condutores (
) existe um meio condutivo cuja condutividade é
, onde
é uma constante. O condutor interno está carregado com potencial
e o condutor externo está aterrado.
Considerando uma corrente radial c.c. I por unidade e comprimento em
, determine o campo densidade de corrente radial J em A/m².
Considerando uma corrente radial c.c. I por unidade e comprimento em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de linhas de transmissão coaxiais. A questão fala sobre uma linha coaxial com condutores de raios $ a $ e $ b $, onde $ a < \rho < b $. Entre eles, tem um material condutor cuja condutividade varia com $ \rho $ de acordo com $ \sigma(\rho) = \frac{\sigma_0}{\rho} $. O condutor interno tem potencial $ V_0 $ e o externo está aterrado (potencial zero). A tarefa é encontrar a densidade de corrente radial $ J $ em A/m². Para isso, vamos precisar usar conceitos de campos elétricos, potencial elétrico e a relação entre densidade de corrente e condutividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente $ J $ está relacionada ao campo elétrico $ E $ e à condutividade $ \sigma $ pela equação:
Como estamos lidando com uma simetria radial, o campo elétrico $ E $ depende apenas de $ \rho $ e aponta na direção radial.
Passo 3
Além disso, sabemos que o potencial elétrico $ V(\rho) $ está relacionado ao campo elétrico pela derivada negativa:
Então, podemos substituir $ E $ na primeira equação:
Passo 4
Para encontrar $ V(\rho) $, usamos a condição de que a corrente total por unidade de comprimento é $ I $. A corrente através de um anel de raio $ \rho $ e espessura $ d\rho $ é dada por:
Substituindo $ J $:
Como a corrente total $ I $ é constante, temos:
Passo 5
Substituindo $ \sigma(\rho) = \frac{\sigma_0}{\rho} $:
Essa integral simplifica para:
Sabemos que $ V(b) = 0 $ e $ V(a) = V_0 $, então:
Desse modo, podemos resolver para $ V_0 $:
Passo 6
Agora, voltando à equação da densidade de corrente:
Precisamos encontrar $ \frac{dV}{d\rho} $. Sabemos que:
Derivando em relação a $ \rho $:
Passo 7
Substituindo $ \frac{dV}{d\rho} $ na expressão de $ J $:
Agora, substituímos $ V_0 $ por $ \frac{I}{2\pi \sigma_0} $:
Resposta
A densidade de corrente radial $ J $ é dada por: