Desenhe (perfeitamente) cada um dos seguintes sólidos de revolução. Calcule seu volume.
Sólido formado pela rotação da região delimitada por f(x)=x^2+2, g(x)=x / 2+1, para x entre 0 e 1 , em torno do eixo- x.

Passo 1

A questão pede para desenhar e calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por f(x)=x^2+2 e g(x)=x/2+1 para 0<= x<=1 em torno do eixo x. O conteúdo envolvido é sólidos de revolução pelo método dos anéis (ou washers).

Passo 2

Primeiro, esboce as curvas no plano (x,y). Em 2D, desenhe a parábola y=x^2+2 e a reta y=x/2+1, marque o intervalo de x=0 a x=1 e a região entre elas. Em 3D, ao girar essa região em torno do eixo x, cada “fatia” em x gera um anel com raio externo e interno variáveis.
Para calcular o volume usamos o método dos anéis. A fórmula geral é
V=piintegrala^bl[R(x)^2 - r(x)^2r],dx
onde R(x) é o raio externo e r(x) o raio interno de cada anel.

Passo 3

Em [0,1], observa-se que f(x)=x^2+2 >= g(x)=x/2+1. Logo
R(x)=f(x)=x^2+2,
r(x)=g(x)=x2+1

Passo 4

Montamos o integrando:
R(x)^2 - r(x)^2 = (x^2+2)^2 - l(x2+1r)^2
Expandindo:
(x^2+2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4,
l(x2+1r)^2 = x^24 + x +1,
Logo
R^2 - r^2 = x^4 +4x^2+4 - l(x^24 + x +1r) = x^4 + 154x^2 - x +3

Passo 5

Agora integramos de 0 a 1:
integral0^1 x^4,dx = 15,
integral0^1 154x^2,dx = 154cdot13=54,
integral0^1 (-x),dx = -12,
integral0^1 3,dx = 3
Somando:
15 + 54 - 12 + 3 = 15 + 54 - 12 + 3 = 7920

Passo 6

Multiplicamos por pi para obter o volume final, obtendo 79pi20.

Resposta

V = 79pi20

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