Desenhe (perfeitamente) cada um dos seguintes sólidos de revolução. Calcule seu volume.
Sólido formado pela rotação da região delimitada por
, para
entre 0 e 1 , em torno do eixo-
.
Sólido formado pela rotação da região delimitada por
Passo 1
A questão pede para desenhar e calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
e
para
em torno do eixo
. O conteúdo envolvido é sólidos de revolução pelo método dos anéis (ou washers).
Passo 2
Primeiro, esboce as curvas no plano
. Em 2D, desenhe a parábola
e a reta
, marque o intervalo de
a
e a região entre elas. Em 3D, ao girar essa região em torno do eixo
, cada “fatia” em
gera um anel com raio externo e interno variáveis.
Para calcular o volume usamos o método dos anéis. A fórmula geral é
Para calcular o volume usamos o método dos anéis. A fórmula geral é
onde
é o raio externo e
o raio interno de cada anel.
Passo 3
Em
, observa-se que
. Logo
Passo 4
Montamos o integrando:
Expandindo:
Logo
Passo 5
Agora integramos de 0 a 1:
Somando:
Passo 6
Multiplicamos por
para obter o volume final, obtendo
.