Sabendo que L^-1F(s) cdot G(s)=(f * g)(t), calcule
L^-11s^2 cdot 1s^2-1

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de 1s^2cdot1s^2-1. Isso cai na propriedade de convolução, ou seja, se F(s)=1s^2 e G(s)=1s^2-1, então L^-1F(s)G(s)=(f*g)(t). Vamos usar essa ideia.

Passo 2

Identificamos as transformadas inversas individuais: f(t)=L^-11/s^2=t (porque Lt=1/s^2) e g(t)=L^-11/(s^2-1)=sinh(t) (pois Lsinh(t)=1/(s^2-1)).

Passo 3

Pela definição de convolução temos
(f*g)(t)=integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau=integral0^t tausinh(t-tau),dtau

Passo 4

Para calcular I=integral0^t tausinh(t-tau),dtau, fazemos a mudança de variável u=t-tau, de modo que tau=t-u e quando tau vai de 0 a t, u vai de t a 0. Isso dá:
I=integralu=t^0(t-u)sinh(u)(-du)=integral0^t(t-u)sinh(u),du

Passo 5

Dividimos em duas integrais:
I=tintegral0^tsinh(u),du-integral0^tusinh(u),du
Sabemos que integral0^tsinh(u),du=cosh(t)-1.

Passo 6

Agora integral0^tusinh(u),du fazemos por partes, com a=u e dv=sinh(u)du. Então:
integral0^tusinh(u),du=[ucosh(u)]0^t-integral0^tcosh(u),du=tcosh(t)-sinh(t)

Passo 7

Substituindo de volta em I:
I=t(cosh(t)-1)-l(tcosh(t)-sinh(t)r)=sinh(t)-t
Logo, a convolução vale sinh(t)-t.

Resposta

sinh(t)-t

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