Esboce e identifique os gráficos das seguintes curvas em coordenadas polares.
Passo 1
Temos a curva dada por
. O conteúdo aqui é curvas em coordenadas polares, e o que queremos é esboçar o gráfico e identificar a que família de curvas ele pertence. Vamos precisar descobrir para quais valores de
o raio
é real e como o formato se organiza.
Passo 2
Para que
seja não negativo, precisamos de
. Isso acontece quando
, ou seja
. Em particular, nos dois principais intervalos temos
e
.
Nesses intervalos r será real e define dois “lóbulos” da curva.
Nesses intervalos r será real e define dois “lóbulos” da curva.
Passo 3
Extraímos então o raio positivo como
para em cada um dos intervalos acima. Observe que em
temos
, em
temos
; e no outro lóbulo, em
também
e em
dá
.
para
Passo 4
Isso mostra que a curva tem dois laços simétricos em relação ao eixo polar (eixo
em coordenadas cartesianas): um laço em volta de
indo de 0 até 2 e voltando a 0, e outro laço em volta de
com o mesmo formato.
Passo 5
Esse formato – duas “bolas” que se unem no polo – caracteriza a lemniscata de Bernoulli. No nosso caso o parâmetro é
, porque se trata de
com . Portanto, a curva é uma lemniscata de Bernoulli de parâmetro
, com dois lóbulos simétricos ao longo do eixo polar.
com
Resposta
Lemniscata de Bernoulli de parâmetro a=2, com dois lóbulos simétricos ao longo do eixo polar.