Esboce e identifique os gráficos das seguintes curvas em coordenadas polares.

Passo 1

Temos a curva dada por r^2 = 4 cos 2theta. O conteúdo aqui é curvas em coordenadas polares, e o que queremos é esboçar o gráfico e identificar a que família de curvas ele pertence. Vamos precisar descobrir para quais valores de theta o raio r é real e como o formato se organiza.

Passo 2

Para que r^2 seja não negativo, precisamos de cos 2theta >= 0. Isso acontece quando
2theta in [-tfracpi2,tfracpi2] + 2kpi, ou seja
theta in [-tfracpi4,tfracpi4] + kpi. Em particular, nos dois principais intervalos temos
theta in [-tfracpi4,tfracpi4] e theta in [tfrac3pi4,tfrac5pi4].
Nesses intervalos r será real e define dois “lóbulos” da curva.

Passo 3

Extraímos então o raio positivo como
r = 2raizcos 2theta
para theta em cada um dos intervalos acima. Observe que em theta=0 temos r=2, em theta=pmtfracpi4 temos r=0; e no outro lóbulo, em theta=pi também r=2 e em theta=3pi/4,5pi/4 r=0.

Passo 4

Isso mostra que a curva tem dois laços simétricos em relação ao eixo polar (eixo x em coordenadas cartesianas): um laço em volta de theta=0 indo de 0 até 2 e voltando a 0, e outro laço em volta de theta=pi com o mesmo formato.

Passo 5

Esse formato – duas “bolas” que se unem no polo – caracteriza a lemniscata de Bernoulli. No nosso caso o parâmetro é a=2, porque se trata de
r^2 = a^2cos2theta
com a^2=4. Portanto, a curva é uma lemniscata de Bernoulli de parâmetro 2, com dois lóbulos simétricos ao longo do eixo polar.

Resposta

Lemniscata de Bernoulli de parâmetro a=2, com dois lóbulos simétricos ao longo do eixo polar.

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