Desenhe as projeções de dois orbitais d que estejam no plano x y considerando que este é o plano do papel. Rotule cada desenho com a função matemática apropriada e inclua um par de eixos cartesianos devidamente rotulados. Indique os lóbulos dos orbitais com sinais + (positivo) e - (negativo).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem para desenhar as projeções (visão no plano do papel) de dois orbitais d que "estejam no plano x y" — isto é, orbitais cujos lóbulos principais se situam no plano xy.
  • Cada desenho deve ter os eixos cartesianos rotulados, a função matemática apropriada do orbital e os lóbulos indicados com sinais + (fase positiva) e - (fase negativa).
  • Vou considerar os dois orbitais reais mais típicos que têm seus lóbulos no plano xy: o orbital d_{xy} e o orbital d_{x^{2}-y^{2}}. Não foi pedido desenho 3D nem dependência radial, então vou fazer as projeções bidimensionais (plano xy).

Passo 2

Qual a forma matemática (angular) desses orbitais — ideia e explicação didática:
  • Um orbital atômico separa-se em parte radial e parte angular. Para a projeção no plano xy só precisamos da dependência angular (ou, equivalently, da dependência em x e y quando fixamos o raio).
  • O orbital d_{xy} tem, na forma real, uma dependência proporcional a xy. Escrevemos:
\psi_{d_{xy}}(\mathbf{r}) \propto x\,y \times R(r),
onde R(r) é a parte radial (não importante para a forma da projeção). A parte angular útil é então \propto x y.
  • O orbital d_{x^{2}-y^{2}} tem dependência proporcional a x^{2}-y^{2}. Escrevemos:
\psi_{d_{x^{2}-y^{2}}}(\mathbf{r}) \propto (x^{2}-y^{2}) \times R(r).
A parte angular relevante é \propto x^{2}-y^{2}.

Passo 3

Como converter essas fórmulas em “onde desenhar os lóbulos” e como determinar os sinais + e -:
  • Nódulos (linhas onde a função é zero) e lóbulos:
    • Para \psi_{d_{xy}}\propto x y: a função vale zero sempre que x=0 ou y=0. Ou seja, as linhas nodais são os eixos x e y. Os quatro lóbulos ficam nos quadrantes (entre os eixos).
    • Para \psi_{d_{x^{2}-y^{2}}}\propto x^{2}-y^{2}: a função vale zero quando x^{2}=y^{2}, isto é, nas linhas y= \pm x. Portanto as linhas nodais formam duas diagonais, e os lóbulos ficam centrados ao longo dos eixos x e y (um lóbulo em +x, um em -x, um em +y, um em -y).
  • Determinar o sinal em cada lóbulo: avaliar a função em um ponto teste de cada lóbulo:
    • Para d_{xy}: no primeiro quadrante (por exemplo x=1,y=1) tem xy=1>0\Rightarrow fase +. No segundo quadrante ( x=-1,y=1) tem xy=-1<0\Rightarrow fase -. E assim por diante (sinais alternados I:+, II:-, III:+, IV:-).
    • Para d_{x^{2}-y^{2}}: na direção x (por exemplo x=1,y=0) tem 1^{2}-0^{2}=1>0\Rightarrow fase + nas duas lobulações ao longo do eixo x. Na direção y (por exemplo x=0,y=1) tem 0-1=-1<0\Rightarrow fase - nas lobulações ao longo do eixo y.

Passo 4

Como desenhar (passo a passo) cada projeção no papel:
  • Passos gerais para o desenho:
    1. Trace os eixos cartesianos horizontais e verticais e marque o sentido + em x e y.
    2. Marque as linhas nodais (onde a função se anula): para d_{xy} são os eixos x e y; para d_{x^{2}-y^{2}} são as diagonais y=\pm x.
    3. Esboce quatro lóbulos (formas de “petala” ou elipses) nas regiões adequadas (entre eixos ou sobre eixos).
    4. Em cada lóbulo, escreva + ou - avaliando a função num ponto teste como explicado no passo anterior.
  • Observação sobre escala e radialidade: o sinal e a localização dos lóbulos vêm da parte angular; o tamanho/curvatura exata depende de R(r) (a parte radial). Para a prova normalmente basta o esquema com a posição e sinais corretos.

Passo 5

Esboços finais (desenhos simbólicos com eixos, função e sinais). Cada desenho mostra os eixos x e y, a fórmula e os lóbulos marcados com + e -.
Orbital d_{xy} ( \psi_{d_{xy}}\propto x y):
\n
y
   ↑
   |
II | I
(-) | (+)
------- \bullet-------→ x
(+) | (-)
III | IV
|
\n
  • Fórmula: \psi_{d_{xy}}(\mathbf{r}) \propto x\,y.
  • Linhas nodais: x=0 e y=0 (eixos).
  • Sinais: primeiro quadrante +, segundo -, terceiro +, quarto -, conforme avaliação em pontos testes.
Orbital d_{x^{2}-y^{2}} ( \psi_{d_{x^{2}-y^{2}}}\propto x^{2}-y^{2}):
\n
y
      ↑
      |
 \((-)\)  |  \((-)\)
      |
(+)---- \bullet---- (+)—→ x
|
(-) | (-)
|
\n
  • Fórmula: \psi_{d_{x^{2}-y^{2}}}(\mathbf{r}) \propto x^{2}-y^{2}.
  • Linhas nodais: y=\pm x (diagonais).
  • Sinais: lóbulos ao longo do eixo x são +; lóbulos ao longo do eixo y são -, conforme pontos testes.

Resposta

Orbital d_{xy}: \psi_{d_{xy}}\propto x\,y\n
y\n
↑\n
|\n
II | I\n
\,(-)\, | \,(+)\,\n
------- \bullet-------→ x\n
\,(+)\, | \,(-)\,\n
III | IV\n
|\n
Orbital d_{x^{2}-y^{2}}: \psi_{d_{x^{2}-y^{2}}}\propto x^{2}-y^{2}\n
y\n
↑\n
|\n
\,(-)\, | \,(-)\,\n
|\n
\,(+)\,---- \bullet---- \,(+)\,—→ x\n
|\n
\,(-)\, | \,(-)\,\n
|

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