Calcule o comprimento de onda da linha do espectro atômico do hidrogênio em que n_{1}=1 e n_{2}=3. Qual é a variação de energia para essa transição?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claramente:
  • Calcular o comprimento de onda da linha do espectro do hidrogênio para os níveis n_{1}=1 e n_{2}=3.
  • Calcular a variação de energia associada a essa transição.
Informações fornecidas (explícitas ou padrão para hidrogênio):
  • n_{1}=1 (nível final, mais baixo) e n_{2}=3 (nível inicial, mais alto).
  • Constantes que vamos usar (valores padrão):
    • Constante de Rydberg para o hidrogênio: R=1{,}097373\times10^{7}\\ \text{m}^{-1}.
    • Constante de Planck: h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}.
    • Velocidade da luz no vácuo: c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \text{m/s}.
    • Conversão de energia: 1\\ \text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J}.
    • Energia do estado fundamental do elétron no modelo de Bohr: E_{n}=-13{,}6\\ \text{eV}/n^{2} (valor aproximado usado em exames).

Passo 2

Fórmula para o comprimento de onda das linhas espectrais (fórmula de Rydberg). Explicação: ao passar de um nível n_{2} para um nível n_{1} no átomo de hidrogênio, o comprimento de onda do fóton emitido satisfaz
\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right).
Aqui:
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton (em metros),
  • R é a constante de Rydberg (em \text{m}^{-1}),
  • n_{1} e n_{2} são os números quânticos principais dos níveis final e inicial, respectivamente.
    Esta fórmula vem da diferença de energias dos níveis (modelo de Bohr) e da relação E_{\text{fóton}}=h\nu=hc/\lambdaó.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Rydberg aos valores dados. Primeiro calcule a diferença dos inversos dos quadrados:
\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}=\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{3^{2}}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.
Portanto
\frac{1}{\lambda}=R\cdot\frac{8}{9}\quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{9}{8R}.

Passo 4

Cálculo numérico do comprimento de onda. Usando R=1{,}097373\times10^{7}\\ \text{m}^{-1}:
\lambda=\frac{9}{8R}=\frac{9}{8\cdot 1{,}097373\times10^{7}}\\ \text{m}.
Fazendo as contas (só multiplicações e divisão simples):
8\cdot 1{,}097373\times10^{7}=8{,}778984\times10^{7},
\lambda=\frac{9}{8{,}778984\times10^{7}}=1{,}025\times10^{-7}\\ \text{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \text{nm}=10^{-9}\\ \text{m}):
\lambda\approx 1{,}025\times10^{-7}\\ \text{m}=102{,}5\\ \text{nm}.
Comentário prático: esta linha está na série de Lyman (ultravioleta), pois \lambda é \sim10^{2}\\ \text{nm}.

Passo 5

Agora vamos calcular a variação de energia associada à transição. Existem duas maneiras equivalentes e úteis para entender isso; vou mostrar as duas (uma usando níveis de energia do modelo de Bohr, outra usando E=hc/\lambda) para reforçar a ideia.
Método A — usando os níveis de energia de Bohr:
  • Energia do nível n: E_{n}=-\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^{2}}. Aqui E_{n} é a energia do elétron no nível n (negativa porque ligado ao átomo).
  • Variação de energia do elétron ao ir de n_{2} para n_{1}:
\Delta E_{\text{el}}=E_{1}-E_{3}=-\frac{13{,}6}{1^{2}}-\left(-\frac{13{,}6}{3^{2}}\right)=-13{,}6+\frac{13{,}6}{9}.
Calculemos:
\frac{13{,}6}{9}=1{,}511\overline{1}\\ \text{eV},
\Delta E_{\text{el}}=-13{,}6+1{,}511\overline{1}=-12{,}088\overline{8}\\ \text{eV}.
Interpretação: o elétron perde energia \Delta E_{\text{el}}=-12{,}089\\ \text{eV}; o fóton emitido carrega energia positiva igual ao módulo dessa perda:
E_{\text{fóton}}=|\Delta E_{\text{el}}|=12{,}089\\ \text{eV}.ó
Convertendo para joules:
E_{\text{fóton}}=12{,}089\\ \text{eV}\times 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \frac{\text{J}}{\text{eV}}\approx 1{,}937\times10^{-18}\\ \text{J}.ó

Passo 6

Método B — consistência com E=hc/\lambda. Usando \lambda calculado e h c=6{,}62607015\times10^{-34}\cdot2{,}99792458\times10^{8}=1{,}98644586\times10^{-25}\\ \text{J}\cdot\text{m}:
E_{\text{fóton}}=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{1{,}025\times10^{-7}}\\ \text{J}\approx 1{,}937\times10^{-18}\\ \text{J},ó
o que dá, em eV,
E_{\text{fóton}}=\frac{1{,}937\times10^{-18}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \text{eV}\approx 12{,}089\\ \text{eV}.ó
Isso confirma a consistência entre os dois métodos: a energia do fóton corresponde exatamente à perda de energia do elétron.

Passo 7

Resumo final e interpretação física curta (para memorização para a prova):
  • Comprimento de onda: use sempre a fórmula de Rydberg e simplifique \dfrac{1}{n_{1}^{2}}-\dfrac{1}{n_{2}^{2}} para obter uma expressão simples como \dfrac{8}{9} neste caso; depois é só substituir R.
  • Variação de energia: pode-se usar E_{n}=-13{,}6/n^{2} (em eV) para encontrar a diferença entre níveis; o fóton emitido terá energia igual ao módulo dessa diferença; converta para joules com 1\\ \text{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \text{J}.

Resposta

\lambda\approx 1{,}025\times10^{-7}\\ \text{m}=102{,}5\\ \text{nm}
\Delta E_{\text{(fóton)}}\approx 1{,}937\times10^{-18}\\ \text{J}\approx 12{,}089\\ \text{eV}ó

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