Calcule o comprimento de onda da linha do espectro atômico do hidrogênio em que
e
. Qual é a variação de energia para essa transição?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claramente:
- Calcular o comprimento de onda da linha do espectro do hidrogênio para os níveis
e . - Calcular a variação de energia associada a essa transição.
Informações fornecidas (explícitas ou padrão para hidrogênio):
-
(nível final, mais baixo) e (nível inicial, mais alto). - Constantes que vamos usar (valores padrão):
- Constante de Rydberg para o hidrogênio:
. - Constante de Planck:
. - Velocidade da luz no vácuo:
. - Conversão de energia:
. - Energia do estado fundamental do elétron no modelo de Bohr:
(valor aproximado usado em exames).
- Constante de Rydberg para o hidrogênio:
Passo 2
Fórmula para o comprimento de onda das linhas espectrais (fórmula de Rydberg). Explicação: ao passar de um nível
para um nível
no átomo de hidrogênio, o comprimento de onda do fóton emitido satisfaz
Aqui:
-
é o comprimento de onda do fóton (em metros), -
é a constante de Rydberg (em ), -
e são os números quânticos principais dos níveis final e inicial, respectivamente.
Esta fórmula vem da diferença de energias dos níveis (modelo de Bohr) e da relação.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Rydberg aos valores dados. Primeiro calcule a diferença dos inversos dos quadrados:
Portanto
Passo 4
Cálculo numérico do comprimento de onda. Usando
:
Fazendo as contas (só multiplicações e divisão simples):
Convertendo para nanômetros (
):
Comentário prático: esta linha está na série de Lyman (ultravioleta), pois
é
.
Passo 5
Agora vamos calcular a variação de energia associada à transição. Existem duas maneiras equivalentes e úteis para entender isso; vou mostrar as duas (uma usando níveis de energia do modelo de Bohr, outra usando
) para reforçar a ideia.
Método A — usando os níveis de energia de Bohr:
- Energia do nível
: . Aqui é a energia do elétron no nível (negativa porque ligado ao átomo). - Variação de energia do elétron ao ir de
para :
Calculemos:
Interpretação: o elétron perde energia
; o fóton emitido carrega energia positiva igual ao módulo dessa perda:
Convertendo para joules:
Passo 6
Método B — consistência com
. Usando
calculado e
:
o que dá, em eV,
Isso confirma a consistência entre os dois métodos: a energia do fóton corresponde exatamente à perda de energia do elétron.
Passo 7
Resumo final e interpretação física curta (para memorização para a prova):
- Comprimento de onda: use sempre a fórmula de Rydberg e simplifique
para obter uma expressão simples como neste caso; depois é só substituir . - Variação de energia: pode-se usar
(em eV) para encontrar a diferença entre níveis; o fóton emitido terá energia igual ao módulo dessa diferença; converta para joules com .