Desenhe a região A e calcule sua área, onde A é a região do plano compreendida entre o eixo 0 x e o gráfico de y-x^2-x, com 0 <= x <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar e calcular a área da região A limitada pelo eixo Ox (ou seja, y=0) e pelo gráfico da função
y = x^2 + x
no intervalo 0 <= x <= 2.
O conteúdo é cálculo de área sob uma curva, que fazemos com integral definida.

Passo 2

Para esboçar o gráfico de ,y = x^2 + x em [0,2]:
– Em x=0, temos y=0.
– Em x=1, temos y=1^2+1=2.
– Em x=2, temos y=2^2+2=6.
A curva é uma parábola com concavidade para cima, passando pelos pontos (0,0), (1,2) e (2,6). A região A é, então, o “recorte” sob essa parábola e acima do eixo Ox, entre x=0 e x=2.

Passo 3

A área de A é dada pela integral da função f(x)=x^2+x em relação a x, subtraindo-se o valor do eixo Ox (que é zero). Logo
A = integral0^2 l(x^2 + xr),dx

Passo 4

Calculando a integral:
integral0^2 l(x^2 + xr),dx = integral0^2 x^2,dx ;+; integral0^2 x,dx = l[tfracx^33r]0^2 ;+; l[tfracx^22r]0^2
Substituindo os limites:
l(tfrac2^33-0r) + l(tfrac2^22-0r) = tfrac83 + tfrac42 = tfrac83 + 2 = tfrac83 + tfrac63 = tfrac143

Resposta

A área da região A é
boxedtfrac143

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