Identify the horizontal asymptotes of each function.
f(x)=5 x^2raiz5 x^4-2 x

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais da função
f(x)=5x^2raiz5x^4-2x
O conteúdo aqui é cálculo de limites de f(x) quando xto+infty e xto-infty. Para isso, vamos comparar as taxas de crescimento do numerador e do denominador, fatorando x de forma adequada dentro da raiz.

Passo 2

Analisando o limite quando xto+infty, fatoramos x^4 dentro da raiz:
raiz5x^4-2x =raizx^4l(5-tfrac2x^3r) =raizx^4;raiz5-tfrac2x^3 =|x^2|;raiz5-tfrac2x^3
Para xto+infty, temos |x^2|=x^2, então
f(x) =5x^2x^2,raiz5-tfrac2x^3 =5raiz5-tfrac2x^3
Tomando o limite,
limxto+inftyf(x) =5raiz5-0 =5raiz5 =raiz5

Passo 3

Analisando o limite quando xto-infty, a fatoração dentro da raiz é a mesma, mas agora |x^2|=x^2 continua válida (pois x^2 é sempre não-negativo). Logo
f(x) =5x^2x^2,raiz5-tfrac2x^3 =5raiz5-tfrac2x^3,
e
limxto-inftyf(x) =5raiz5-0 =raiz5

Resposta

A única assíntota horizontal é
y=raiz5

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