Desenhe a região A=B cap C cap D e calcule a área de A, onde
B=(x, y) in R^2 mid y >= x^2-4, C=(x, y) in R^2 mid y <= 12-3 x^2 e D=(x, y) in R^2 mid y <= 3 x^2+12 x+12

Passo 1

O enunciado define três regiões em R^2:
B:;y >= x^2 - 4, C:;y <= 12 - 3x^2, D:;y <= 3x^2 + 12x + 12
e pede a interseção A = B cap C cap D. Para desenhar A, esboçamos as três parábolas:
y = x^2 - 4, y = 12 - 3x^2, y = 3x^2 + 12x + 12
e identificamos, para cada x, a curva de cima ( B dá o limite de baixo) e de baixo (mínimo entre C e D).

Passo 2

Calculamos os pontos de interseção:
  1. x^2 - 4 = 12 - 3x^2
4x^2 = 16 Longrightarrow x = pm 2,
com y = 2^2 - 4 = 0.
  1. x^2 - 4 = 3x^2 + 12x + 12
2x^2 + 12x + 16 = 0 Longrightarrow (x + 2)(x + 4) = 0
logo x = -2 ( y=0) e x = -4 ( y = 12).
  1. 12 - 3x^2 = 3x^2 + 12x + 12
6x^2 + 12x = 0 Longrightarrow x(x + 2) = 0
logo x = 0 e x = -2 (ambos em y=12 ou 0).

Passo 3

Para determinar qual curva entre C e D fica “mais abaixo” (ou seja, limita superior de A), comparamos
(12 - 3x^2) - l(3x^2 + 12x + 12r) = -6x^2 - 12x = -6x(x+2)
Esse valor é <=0 quando x <= -2 ou x >= 0, o que significa:
  • Para -2 <= x <= 0, temos D(x) <= C(x) (o gráfico de D está abaixo de C).
  • Para 0 <= x <= 2, temos C(x) <= D(x).
Além disso, a região existe apenas onde o “teto” está acima do “chão” x^2 - 4. Isso ocorre em -2 <= x <= 2.
Conclusão:
bul<=t Em -2 <= x <= 0, o teto é D(x)=3x^2+12x+12.
bul<=t Em 0 <= x <= 2, o teto é C(x)=12-3x^2.
O chão é sempre x^2-4.

Passo 4

A área de A é
integralx=-2^0 l[D(x) - (x^2-4)r],dx ;+; integralx=0^2 l[C(x) - (x^2-4)r],dx
Calculemos as diferenças de função:
  1. Para -2<= x<=0:
D(x) - (x^2-4) = l(3x^2+12x+12r) - l(x^2-4r) = 2x^2 + 12x + 16
  1. Para 0<= x<=2:
C(x) - (x^2-4) = l(12-3x^2r) - l(x^2-4r) = 16 - 4x^2

Passo 5

Calculamos cada integral:
integral-2^0 (2x^2 + 12x + 16),dx =[tfrac23x^3 + 6x^2 + 16x]-2^0 =0 - l(-tfrac403r) =tfrac403,
integral0^2 (16 - 4x^2),dx =[16x - tfrac43x^3]0^2 =32 - tfrac323 =tfrac643
Somando,
Área(A) = tfrac403 + tfrac643 = tfrac1043 Á

Resposta

A área de A é 1043 unidades de área.

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