Esboçando a região correspondente, calcule cada integral definida utilizando fórmula de cálculo de área da geometria elementar. Depois, compare seu resultado fazendo uso do TFC.
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
de duas formas:
- Interpretando a integral como área (positiva acima do eixo
, negativa abaixo). - Usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
Para isso, vamos esboçar a retano intervalo , identificar as regiões geométricas e depois comparar com a primitiva de .
Passo 2
Esboço da reta
:
- Em
, . - Em
, . - Em
, .
Logo, dea a reta fica abaixo do eixo e forma um triângulo, e de a fica acima, formando outro triângulo.
Passo 3
Área da região de
até
(abaixo do eixo, com sinal negativo):
A base do triângulo vale e a altura vale
.
A base do triângulo vale
portanto a contribuição para a integral é
.
Passo 4
Área da região de
até
(acima do eixo, com sinal positivo):
A base vale e a altura vale
.
A base vale
Passo 5
Somando as contribuições geométricas, temos
Passo 6
Agora pelo TFC, uma primitiva de
é
Avaliaremos de
a
:
logo
que coincide com o resultado geométrico.