Esboçando a região correspondente, calcule cada integral definida utilizando fórmula de cálculo de área da geometria elementar. Depois, compare seu resultado fazendo uso do TFC.
integral-2^3 x-2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-2^3(x-2),dx
de duas formas:
  1. Interpretando a integral como área (positiva acima do eixo x, negativa abaixo).
  2. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
    Para isso, vamos esboçar a reta y=x-2 no intervalo [-2,3], identificar as regiões geométricas e depois comparar com a primitiva de x-2.

Passo 2

Esboço da reta y=x-2:
  • Em x=-2, y(-2)=-2-2=-4.
  • Em x=2, y(2)=0.
  • Em x=3, y(3)=1.
    Logo, de -2 a 2 a reta fica abaixo do eixo x e forma um triângulo, e de 2 a 3 fica acima, formando outro triângulo.

Passo 3

Área da região de x=-2 até x=2 (abaixo do eixo, com sinal negativo):
A base do triângulo vale 4 e a altura vale 4.
A1 = 12times 4times 4 = 8,
portanto a contribuição para a integral é -8.

Passo 4

Área da região de x=2 até x=3 (acima do eixo, com sinal positivo):
A base vale 1 e a altura vale 1.
A2 = 12times 1times 1 = 12

Passo 5

Somando as contribuições geométricas, temos
integral-2^3(x-2),dx = -8 + 12 = -152

Passo 6

Agora pelo TFC, uma primitiva de x-2 é
F(x)=x^22-2x
Avaliaremos de -2 a 3:
F(3)=92-6=-32, F(-2)=42-2(-2)=2+4=6,
logo
F(3)-F(-2)=-32-6=-32-122=-152,
que coincide com o resultado geométrico.

Resposta

-tfrac152

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