Desenhe a região de integração e troque a ordem de integração.
integral0^1 integral0^y^2 f(x, y) d x d y

Passo 1

O exercício pede para desenhar a região de integração e depois trocar a ordem de integração de
integral0^1 integral0^y^2 f(x,y),dx,dy
O conteúdo envolvido é integração dupla e mudança de ordem de integração; vamos precisar reconhecer a região no plano (em termos de x e y) e depois reexpressar os limites.

Passo 2

A região R é definida por 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y². Geometricamente, no plano xy temos:
– A reta y=0 (eixo x).
– A reta x=0 (eixo y).
– A parábola x=y², que conecta (0,0) a (1,1).
Isso forma uma “faixa” abaulada entre o eixo y e a curva x=y², de y=0 até y=1.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, tratamos y como função de x. A região R também pode ser descrita por:
– 0 ≤ x ≤ 1 (pois o maior valor de x ocorre quando y=1 e x=y²=1).
– Para cada x fixo, y varia da curva y=√x até y=1.

Passo 4

Portanto, trocando a ordem de integração, a integral fica:

Passo 5

integral0^1integralraizx^1f(x,y),dy,dx

Resposta

integral0^1integralraizx^1f(x,y),dy,dx

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