Calcule a integral
integral0^1 integraly^1 e^y / x d x d y

Passo 1

O problema pede para calcular a integral dupla integral0^1!integraly^1 e^y/x,dx,dy. Esse tipo de integral a gente costuma resolver trocando a ordem de integração (teorema de Fubini) e usando substituições para as exponenciais.

Passo 2

A região de integração é dada por 0 <= y <= 1 e y <= x <= 1. Se trocarmos a ordem, primeiro fixamos x variando de 0 a 1 e depois y de 0 até x. Assim,
integral0^1 integraly^1 e^y/x,dx,dy = integral0^1 integral0^x e^y/x,dy,dx
Agora a integral interna é em y mantendo x fixo. Para calcular
integral0^x e^y/x,dy,
fazemos a substituição t = y/x, logo dy = x,dt e, quando y=0, t=0; quando y=x, t=1. Fica
integral0^x e^y/x,dy = integral0^1 e^t cdot x,dt = x integral0^1 e^t,dt = xl(e-1r)

Passo 3

Substituindo de volta na integral em x, temos
integral0^1 l(x(e-1)r),dx = (e-1) integral0^1 x,dx = (e-1) cdot 12 = e-12

Passo 4

Portanto, o valor da integral original é e-12.

Resposta

e-12

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