Seja f(x)=(x-3)^2, com x in I=[2,5].
(b) Determine x^* in I tal que f med =f(x^*).

Passo 1

O enunciado pede para achar um ponto x^* em [2,5] tal que o valor médio de f(x)=(x-3)^2 no intervalo seja igual a f(x^*). O conteúdo aqui é o cálculo do valor médio de uma função e a aplicação do Teorema do Valor Médio para integrais.

Passo 2

O valor médio de f em [2,5] é dado por fmed=dfrac15-2integral2^5 (x-3)^2,dx. Primeiro, calculamos a integral:
integral (x-3)^2,dx=(x-3)^33
Logo,
integral2^5 (x-3)^2,dx=(x-3)^33|2^5=2^3-(-1)^33=8+13=3
Assim
fmed=13cdot3=1

Passo 3

Agora igualamos f(x^*) ao valor médio:
(x^*-3)^2=1
Então x^*-3=pm1, o que dá as soluções x^*=4 e x^*=2.

Passo 4

Verificamos que ambos os pontos 2 e 4 estão no intervalo [2,5], satisfazendo o enunciado.

Resposta

As soluções são x^=2 ou x^=4.

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