Sabendo-se que
, calcule:
Passo 1
O enunciado nos dá a primitiva conhecida
e pede para calcular
Informações relevantes: o integrando é uma função racional simples do tipo
com
.
Passo 2
Vamos reescrever a integral de modo a tornar explícito um termo da forma
. Faço fatoração do
no denominador:
Aqui identifiquei
como a quantidade que aparece ao quadrado dentro do parêntese.
Passo 3
Agora faço a substituição que normaliza o quadrado: defino
Então
e
Substituindo na integral obtida no passo anterior:
Observe que
.
Passo 4
Usando a primitiva conhecida
(mesma fórmula dada no enunciado, só com a variável
), temos
Voltando para
(substituindo
):
Passo 5
Para ficar com uma fórmula geral e decorável na prova: para qualquer
,
No nosso caso
, então a fórmula dá exatamente o resultado do passo anterior. Como checagem rápida, derivando a resposta obtida
portanto está correto.
Passo 6
Dica prática para a prova: reconheça padrões do tipo
. Sempre que vir isso, lembre que a primitiva é
. Exemplo rápido:
. Força aí — você consegue!