Sabendo-se que \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\operatorname{arctg}(x)+\lambda(\lambda \in \mathbb{R}), calcule:
\int \frac{1}{2+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a primitiva conhecida
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\operatorname{arctg}(x)+\lambda,\qquad (\lambda\in\mathbb{R})
e pede para calcular
\int \frac{1}{2+x^{2}}\,dx.
Informações relevantes: o integrando é uma função racional simples do tipo \dfrac{1}{a^{2}+x^{2}} com a^{2}=2.

Passo 2

Vamos reescrever a integral de modo a tornar explícito um termo da forma \dfrac{1}{1+(\cdot)^{2}}. Faço fatoração do 2 no denominador:
\int \frac{1}{2+x^{2}}\,dx=\int \frac{1}{2\left(1+\dfrac{x^{2}}{2}\right)}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)^{2}}\,dx.
Aqui identifiquei \dfrac{x}{\sqrt{2}} como a quantidade que aparece ao quadrado dentro do parêntese.

Passo 3

Agora faço a substituição que normaliza o quadrado: defino
u=\frac{x}{\sqrt{2}}.
Então x=\sqrt{2}\,u e
dx=\sqrt{2}\,du.
Substituindo na integral obtida no passo anterior:
\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+u^{2}}\cdot (\sqrt{2}\,du) =\frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du.
Observe que \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Usando a primitiva conhecida \int \dfrac{1}{1+u^{2}}\,du=\operatorname{arctg}(u)+C (mesma fórmula dada no enunciado, só com a variável u), temos
\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du=\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}(u)+C.
Voltando para x (substituindo u=\dfrac{x}{\sqrt{2}}):
\int \frac{1}{2+x^{2}}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C.

Passo 5

Para ficar com uma fórmula geral e decorável na prova: para qualquer a>0,
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
No nosso caso a=\sqrt{2}, então a fórmula dá exatamente o resultado do passo anterior. Como checagem rápida, derivando a resposta obtida
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right] =\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{1}{2+x^{2}},
portanto está correto.

Passo 6

Dica prática para a prova: reconheça padrões do tipo \dfrac{1}{a^{2}+x^{2}}. Sempre que vir isso, lembre que a primitiva é \dfrac{1}{a}\operatorname{arctg}(x/a). Exemplo rápido: \int \dfrac{1}{9+x^{2}}\,dx=\dfrac{1}{3}\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{x}{3}\right)+C. Força aí — você consegue!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C

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