(1.0) Desenhe (sem resolver a equação) a região no plano
onde podemos garantir que a seguinte EDO tem solução única
Passo 1
O enunciado pede para desenhar no plano
a regi~ao onde a EDO
admite garantia de exist^encia e unicidade de solu\c{c}~ao fornecida pelo teorema de Picard–Lindel"of. Vamos precisar saber que, para esse teorema, basta encontrar uma regi~ao em que a fun\c{c}~ao
seja cont’inua e satisfa\c{c}a condi\c{c}~ao de Lipschitz em
.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
. Como há a raiz
, precisamos de
ou seja, a região no plano acima (ou sobre) da reta
.
Passo 3
Verificamos continuidade de
. Em toda a região
temos
bem definida e contínua, e
é produto de funções contínuas. Logo, existência de solução é garantida em qualquer ponto com
.
Passo 4
Para unicidade, precisamos que
seja contínua em
. Calculamos
Esse derivado só é finito (e contínuo) quando
. Na reta
ele explode (salvo no caso isolado da origem), portanto ali não há Lipschitz em
.
Passo 5
Conclusão:
- Existência de solução garantida em toda a região
. - Unicidade de solução garantida apenas no interior aberto
, onde é contínua e, portanto, é localmente Lipschitz em .
Resposta
Desenhe a reta
no plano
e sombreie a região acima dela. A garantia de solução única vale exatamente na região aberta
isto é, o semiplano estritamente acima da reta
.