(1.0) Desenhe (sem resolver a equação) a região no plano x t onde podemos garantir que a seguinte EDO tem solução única
x^prime=x raizx-t

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano (t,x) a regi~ao onde a EDO
x' = xraizx - t
admite garantia de exist^encia e unicidade de solu\c{c}~ao fornecida pelo teorema de Picard–Lindel"of. Vamos precisar saber que, para esse teorema, basta encontrar uma regi~ao em que a fun\c{c}~ao
f(t,x) = xraizx - t
seja cont’inua e satisfa\c{c}a condi\c{c}~ao de Lipschitz em x.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. Como há a raiz raizx - t, precisamos de
x - t >= 0,
ou seja, a região no plano acima (ou sobre) da reta x = t.

Passo 3

Verificamos continuidade de f. Em toda a região x - t >= 0 temos raizx - t bem definida e contínua, e f(t,x)=xraizx-t é produto de funções contínuas. Logo, existência de solução é garantida em qualquer ponto com x >= t.

Passo 4

Para unicidade, precisamos que partial f/partial x seja contínua em x. Calculamos
partial fpartial x = raizx - t ;+; xcdot 12raizx - t = raizx - t ;+;x2raizx - t =3x-2t2raizx - t
Esse derivado só é finito (e contínuo) quando x - t>0. Na reta x=t ele explode (salvo no caso isolado da origem), portanto ali não há Lipschitz em x.

Passo 5

Conclusão:
  • Existência de solução garantida em toda a região x>= t.
  • Unicidade de solução garantida apenas no interior aberto x>t, onde partial f/partial x é contínua e, portanto, f é localmente Lipschitz em x.

Resposta

Desenhe a reta x=t no plano (t,x) e sombreie a região acima dela. A garantia de solução única vale exatamente na região aberta
(t,x)mid x>t,
isto é, o semiplano estritamente acima da reta x=t.

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