Resolva uma das seguintes EDOs
(b) (2 y+e^x y) y^prime+y^2+y e^x yx=0, para x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
l(2y+e^xyr)dydx+y^2+y,e^xyx=0,
para x>0. Aqui vamos usar o método de fatores integrantes para tornar a equação exata.

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde
M(x,y)=y^2+y,e^xyx, N(x,y)=2y+e^xy
Calculamos
partial Mpartial y =1xl(2y+e^xy+x,y,e^xyr), partial Npartial x =y,e^xy,
logo não é exata, pois partialy M neq partialx N.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x) que dependa só de x. Usamos
partial M/partial y-partial N/partial xN =tfrac1x(2y+e^xy)2y+e^xy =1x
Assim
mu(x)=expl(integral1x,dxr)=x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por x. Obtém-se
widetilde M(x,y)=y^2+y,e^xy, widetilde N(x,y)=xl(2y+e^xyr),
e verifica-se que agora
partialywidetilde M=2y+e^xy+x,y,e^xy=partialxwidetilde N,
ou seja, a forma tornou-se exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial Psi(x,y) tal que
Psix=widetilde M e Psiy=widetilde N. Integramos widetilde M em x:
Psi(x,y) =integrall(y^2+y,e^xyr),dx = x,y^2 + integral y,e^xy,dx = x,y^2 + e^xy + h(y)
Derivando em y e igualando a widetilde N h'(y)=0, logo h é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
x,y^2+e^xy=C,
com C constante arbitrária.

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