(8 pts) Calcule a integral de linha
em que
é a curva parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
dada por
O conteúdo aqui é reconhecer que esse tipo de integral pode ser facilitado se o campo vetorial
for exato, ou seja, existir uma função potencial
tal que
. Se for exato, então a integral é simplesmente
avaliada nos pontos finais menos
no ponto inicial.
Passo 2
Verificamos a condição de exatidão:
Calculemos
Como
, o campo é exato num domínio convexo de
.
Passo 3
Construímos a função potencial
satisfazendo
Integrando em relação a
:
onde
é função a determinar. Diferenciando em relação a
e igualando a
:
Logo
Passo 4
A integral de linha é
Calculamos os extremos da parametrização:
Então