(8 pts) Calcule a integral de linha
integralC(x+e^2 y) d x+(y^2+2 x e^2 y) d y
em que C é a curva parametrizada por x=t^3 e^t, y=1-cos (pi t), com 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCl(x+e^2yr),dx+l(y^2+2xe^2yr),dy
ao longo da curva C dada por
x(t)=t^3e^t, y(t)=1-cos(pi t), 0<= t<=1
O conteúdo aqui é reconhecer que esse tipo de integral pode ser facilitado se o campo vetorial l(P(x,y),Q(x,y)r) for exato, ou seja, existir uma função potencial f(x,y) tal que df=P,dx+Q,dy. Se for exato, então a integral é simplesmente f avaliada nos pontos finais menos f no ponto inicial.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão:
P(x,y)=x+e^2y, Q(x,y)=y^2+2xe^2y
Calculemos
partial Ppartial y =partialpartial yl(x+e^2yr) =2e^2y,
partial Qpartial x =partialpartial xl(y^2+2xe^2yr) =2e^2y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é exato num domínio convexo de R^2.

Passo 3

Construímos a função potencial f(x,y) satisfazendo
partial fpartial x=P(x,y)=x+e^2y
Integrando em relação a x:
f(x,y)=integrall(x+e^2yr),dx =x^22+x,e^2y+h(y),
onde h(y) é função a determinar. Diferenciando em relação a y e igualando a Q:
partial fpartial y =2x e^2y+h'(y) =y^2+2x e^2y Longrightarrow h'(y)=y^2 Longrightarrow h(y)=y^33
Logo
f(x,y)=x^22+x,e^2y+y^33

Passo 4

A integral de linha é
integralCP,dx+Q,dy =fl(x(1),y(1)r)-fl(x(0),y(0)r)
Calculamos os extremos da parametrização:
(x(0),y(0))=(0^3e^0,;1-cos0)=(0,0),
(x(1),y(1))=(1^3e^1,;1-cospi)=(e,2)
Então
f(e,2) =e^22+e;e^4+2^33 =e^22+e^5+83,
f(0,0)=0

Resposta

integralCl(x+e^2yr),dx+l(y^2+2xe^2yr),dy =e^5+e^22+83

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