Desenhe, no sistema cartesiano O x y, as seguintes curvas dadas em coordenadas polares, 0 \leq \theta \leq 2 \pi :
d) r=1-\cos \theta (cardioide)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano cartesiano a curva dada em coordenadas polares por
r = 1 - \cos\theta,\quad 0\le \theta\le 2\pi.
O conteúdo é a interpretação de curvas em coordenadas polares e a conversão para equações paramétricas em x e y. Vamos precisar de:
  1. Converter para \bigl(x(\theta),y(\theta)\bigr).
  2. Analisar simetrias e pontos notáveis.
  3. Fazer uma tabela de valores e esboçar a curva.

Passo 2

Converter r=1-\cos\theta para coordenadas cartesianas. Lembrando que
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
temos as paramétricas
x(\theta) = \bigl(1-\cos\theta\bigr)\cos\theta,\quad y(\theta) = \bigl(1-\cos\theta\bigr)\sin\theta.

Passo 3

Verificar simetria e interceptos:
  • Quando \theta\to 2\pi ou \theta=0, \cos\theta=1 r=0, ponto na origem (cúspide).
  • Como \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta, a curva é simétrica em relação ao eixo x.
  • Intercepto em y: em \theta=\tfrac{\pi}{2}, \cos\theta=0, r=1 (x,y)=(0,1).
  • Intercepto em y negativo: em \theta=\tfrac{3\pi}{2}, \cos\theta=0, r=1 (0,-1).
  • Extremo à esquerda: em \theta=\pi, \cos\theta=-1, r=2 (x,y)=(-2,0).

Passo 4

Tabela de pontos notáveis
\begin{array}{c|c|c|c} \theta & \cos\theta & r=1-\cos\theta & (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\\hline 0 & 1 & 0 & (0,0)\\\ \tfrac{\pi}{2} & 0 & 1 & (0,1)\\\ \pi & -1 & 2 & (-2,0)\\\ \tfrac{3\pi}{2} & 0 & 1 & (0,-1)\\\\ 2\pi & 1 & 0 & (0,0) \end{array}

Passo 5

Traçar no plano:
  • Comece na origem \theta=0,
  • Passe por (0,1), curve suavemente até (-2,0),
  • Retorne simetricamente por (0,-1) e volte ao ponto inicial.
    O resultado é uma cardioide com cúspide no polo (origem), simétrica em relação ao eixo x, com extremo esquerdo em (-2,0) e “barriga” superior em (0,1) e inferior em (0,-1).

Resposta

O esboço é uma cardioide com cúspide na origem, simétrica em relação ao eixo x, alcançando (0,1), (-2,0) e (0,-1).

Exercícios relacionados