Determine a equação em coordenadas polares das curvas (dadas em coordenadas cartesianas) abaixo e determine as variações de r e \theta :
d) (x+1){2}+(y-2){2}=2.

Passo 1

O enunciado pede para converter a circunferência
(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=2
do sistema cartesiano (x,y) para coordenadas polares (r,\theta), isto é, usando
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
e em seguida determinar para quais valores de r e \theta a curva existe.

Passo 2

Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta em (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=2 obtemos
(r\cos\theta +1)^{2} + (r\sin\theta -2)^{2} = 2.
Expandindo e usando \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, segue
r^{2} + 2r\cos\theta - 4r\sin\theta +1 +4 = 2 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} + 2r\bigl(\cos\theta - 2\sin\theta\bigr) +3 = 0.

Passo 3

Trata-se de uma equação quadrática em r. Chamando
A(\theta)=\cos\theta -2\sin\theta,
temos
r^{2} + 2A(\theta)\,r +3 =0 \quad\Longrightarrow\quad r = -A(\theta)\;\pm\;\sqrt{A(\theta)^{2} - 3}.

Passo 4

Para que r seja real, é necessário
A(\theta)^{2}\;-\;3 \;\ge\;0 \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(\cos\theta -2\sin\theta\bigr)^{2}\;\ge\;3.
Repare que
\cos\theta -2\sin\theta = \sqrt{5}\,\cos\bigl(\theta + \varphi\bigr),
onde \varphi=\arctan(2). Logo
5\cos^{2}(\theta+\varphi)\ge3 \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl|\cos(\theta+\varphi)\bigr|\ge\sqrt{\tfrac35}.
Chamando \alpha=\operatorname{arccos}\!\bigl(\sqrt{3/5}\bigr), as soluções são
\theta+\varphi\in [-\alpha,\alpha]\;\cup\;[\pi-\alpha,\pi+\alpha],
isto é, em valores numéricos
\varphi\approx1{,}107\,,\quad \alpha\approx0{,}685,
\theta\in[-1{,}792,\,-0{,}422]\;\cup\;[1{,}350,\,2{,}719]\quad(\text{rad}).

Resposta

A equação em coordenadas polares é
r^{2} + 2\bigl(\cos\theta -2\sin\theta\bigr)\,r +3 =0 \quad\Longleftrightarrow\quad r = -\bigl(\cos\theta -2\sin\theta\bigr)\pm \sqrt{\bigl(\cos\theta -2\sin\theta\bigr)^{2}-3}.
A curva existe somente para \theta em
[-1{,}792,\,-0{,}422]\;\cup\;[1{,}350,\,2{,}719]
(rad), e para cada \theta desse intervalo r é dado pelas raízes acima, escolhendo-se o sinal que torna r\ge0.

Exercícios relacionados