Encuentra una parametrización continua por secciones de la trayectoria C en el espacio, que parte del punto (1,0,0) al punto (1,0,1), luego al punto (1,2,1) y finaliza en el punto (2,2,1). Represente dicha trayectoria. (10 p)

Passo 1

El ejercicio pide parametrizar por tramos la curva C en R^3 que une los puntos (1,0,0)to(1,0,1)to(1,2,1)to(2,2,1). Vamos a usar la fórmula de segmento de recta: dado un punto P y otro Q, una parametrización es P+(Q-P)s con sin[0,1]. Para mantener continuidad, dividimos tin[0,1] en tres subintervalos de longitud 1/3.

Passo 2

Para el primer tramo de (1,0,0) a (1,0,1) tomamos tin[0,1/3] y definimos s=t-01/3=3t. Como Q-P=(0,0,1),
r1(t)=(1,0,0)+3t,(0,0,1)=(1,0,3t)
Para el segundo tramo de (1,0,1) a (1,2,1) tomamos tin[1/3,2/3] y definimos s=t-1/31/3=3t-1. Aquí Q-P=(0,2,0),
r2(t)=(1,0,1)+(3t-1),(0,2,0)=(1,6t-2,1)
Para el tercer tramo de (1,2,1) a (2,2,1) tomamos tin[2/3,1] y definimos s=3t-2. Aquí Q-P=(1,0,0),
r3(t)=(1,2,1)+(3t-2),(1,0,0)=(3t-1,2,1)

Passo 3

Finalmente, unimos los tres tramos en una única parametrización continua y observamos que la curva es un segmento paralelo a z, luego a y y finalmente a x.

Resposta

La parametrización continua por tramos es
r(t)= (1,0,3t), & tin[0,1/3], (1,6t-2,1), & tin[1/3,2/3], (3t-1,2,1), & tin[2/3,1]

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