Desenhe as superfícies de nível das funções dadas para os valores
:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para desenhar (ou descrever) as superfícies de nível da função
para os valores
,
e
. Ou seja, temos que estudar e representar as três equações
para cada um desses
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O nosso objetivo é encontrar a forma canônica de cada superfície e explicar como desenhá‑la (interseções, eixo, forma geral).
Passo 2
O que é uma superfície de nível? É o conjunto de pontos
em
que satisfazem
No nosso caso a equação é uma forma quadrática. Para classificar essas superfícies vamos reescrever a equação em formas mais familiares (por exemplo: cone, hipérboloide de uma folha, hipérboloide de duas folhas, elipsóide). A ideia prática que usaremos é:
- olhar os sinais dos termos
; - reorganizar a equação em uma forma padrão (por exemplo colocando o termo negativo isolado ou multiplicando por
quando útil); - estudar se para uma dada constante
a equação admite pontos para todo ou apenas para alguns, e quais são as seções transversais (interseções com planos constante, constante ou constante) — isso ajuda muito no desenho.
Vou aplicar isso caso a caso.
Passo 3
Escrevemos a equação geral dos níveis:
Observe que os termos em
e
têm sinal positivo e o termo em
tem sinal negativo. Para classificar as superfícies, é útil separar os três casos
,
e
. Agora analisamos cada um.
Passo 4
Substituindo
temos
Rearranjando:
Interpretação e como desenhar:
- Esta é a equação de um cone duplo (um cone com duas “nappes”, uma se estende em
e outra em ), com vértice na origem . É análogo ao cone circular mas com secções transversais elípticas (porque o coeficiente de é ). - Se cortarmos por um plano
com , obtemos a elipse
Em forma de semi-eixos isso é
ou seja, semi-eixos
na direção
e
na direção
. À medida que
aumenta as elipses aumentam proporcionalmente; no vértice
a elipse colapsa no ponto
. Isso confirma que é um cone com eixo ao longo do eixo
.
Passo 5
Substituindo
temos
ou
Reescrevendo para entender seções para
constante:
Para cada valor fixo de
a direita
, logo a interseção com o plano
é sempre uma elipse (para todo
). Isso indica que a superfície é conexa e se estende para todo valor de
: essa é a definição de um hipérboloide de uma folha. Mais especificamente:
- É um hipérboloide de uma folha com eixo ao longo do eixo
(porque o termo com sinal diferente é o de ). - Para
a seção na placa é a elipse
com semi-eixos
em
e
em
.
- Para
a seção é a elipse
com semi-eixos
em
e
em
. À medida que
cresce, as elipses aumentam: a superfície é uma “cintura” alargando-se para as duas direções de
, formando uma peça única (uma folha).
Passo 6
Substituindo
temos
Multiplicando por
para ver a forma canônica:
Agora, para uma seção
fixa, obtemos
Logo pontos existem somente quando
, isto é quando
. Para
não há pontos reais. Isso significa:
- A superfície é um hipérboloide de duas folhas com eixo ao longo do eixo
: uma folha para e outra folha para . - Em cada folha, para um
com a interseção é a elipse
com semi-eixos
em
e
em
. As folhas começam “afastadas” do plano
e não tocam a origem; há um intervalo central
sem pontos.
Passo 7
- Trace o eixo
horizontal e os eixos perpendiculares (em projeção 2D desenhe o vertical e um “para dentro” com linhas tracejadas). - Para
: desenhe um cone duplo com vértice na origem, eixo ao longo de . Mostre algumas elipses de seção para para orientar a forma. - Para
: desenhe uma superfície única que tem uma “cintura” no plano (elipse ) e que se alarga conforme cresce — hipérboloide de uma folha com eixo . - Para
: desenhe duas folhas separadas, uma para e outra para . Em e as elipses têm degrau zero (limite degenerado), e para desenhe elipses crescentes.