Desenhe as superfícies de nível das funções dadas para os valores c=-1,0,1 :
(b) f(x, y, z)=-x^{2}+y^{2}+9 z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar (ou descrever) as superfícies de nível da função
f(x,y,z) = -x^{2} + y^{2} + 9z^{2}
para os valores c=-1, c=0 e c=1. Ou seja, temos que estudar e representar as três equações
- x^{2} + y^{2} + 9z^{2} = c
para cada um desses c. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{função: }f(x,y,z)=-x^{2}+y^{2}+9z^{2}, \quad\text{valores de nível: }c=-1,0,1.çãí
O nosso objetivo é encontrar a forma canônica de cada superfície e explicar como desenhá‑la (interseções, eixo, forma geral).

Passo 2

O que é uma superfície de nível? É o conjunto de pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^{3} que satisfazem
f(x,y,z)=c.
No nosso caso a equação é uma forma quadrática. Para classificar essas superfícies vamos reescrever a equação em formas mais familiares (por exemplo: cone, hipérboloide de uma folha, hipérboloide de duas folhas, elipsóide). A ideia prática que usaremos é:
  • olhar os sinais dos termos -x^{2},\;y^{2},\;9z^{2};
  • reorganizar a equação em uma forma padrão (por exemplo colocando o termo negativo isolado ou multiplicando por -1 quando útil);
  • estudar se para uma dada constante c a equação admite pontos para todo x ou apenas para alguns, e quais são as seções transversais (interseções com planos x=constante, y=constante ou z=constante) — isso ajuda muito no desenho.
Vou aplicar isso caso a caso.

Passo 3

Escrevemos a equação geral dos níveis:
- x^{2} + y^{2} + 9z^{2} = c.
Observe que os termos em y^{2} e 9z^{2} têm sinal positivo e o termo em x^{2} tem sinal negativo. Para classificar as superfícies, é útil separar os três casos c>0, c=0 e c<0. Agora analisamos cada um.

Passo 4

Substituindo c=0 temos
- x^{2} + y^{2} + 9z^{2} = 0.
Rearranjando:
y^{2} + 9z^{2} = x^{2}.
Interpretação e como desenhar:
  • Esta é a equação de um cone duplo (um cone com duas “nappes”, uma se estende em +x e outra em -x), com vértice na origem (0,0,0). É análogo ao cone circular x^{2}=y^{2}+z^{2} mas com secções transversais elípticas (porque o coeficiente de z^{2} é 9).
  • Se cortarmos por um plano x = x_{0} com x_{0}\neq 0, obtemos a elipse
y^{2} + 9z^{2} = x_{0}^{2}.
Em forma de semi-eixos isso é
\frac{y^{2}}{x_{0}^{2}} + \frac{z^{2}}{(x_{0}^{2}/9)} = 1,
ou seja, semi-eixos a=|x_{0}| na direção y e b=|x_{0}|/3 na direção z. À medida que |x_{0}| aumenta as elipses aumentam proporcionalmente; no vértice x_{0}=0 a elipse colapsa no ponto (0,0,0). Isso confirma que é um cone com eixo ao longo do eixo x.

Passo 5

Substituindo c=1 temos
- x^{2} + y^{2} + 9z^{2} = 1,
ou
y^{2} + 9z^{2} - x^{2} = 1.
Reescrevendo para entender seções para x=constante:
y^{2} + 9z^{2} = 1 + x^{2}.
Para cada valor fixo de x a direita 1+x^{2}>0, logo a interseção com o plano x=x_{0} é sempre uma elipse (para todo x_{0}\in\mathbb{R}). Isso indica que a superfície é conexa e se estende para todo valor de x: essa é a definição de um hipérboloide de uma folha. Mais especificamente:
  • É um hipérboloide de uma folha com eixo ao longo do eixo x (porque o termo com sinal diferente é o de x^{2}).
  • Para x=0 a seção na placa x=0 é a elipse
y^{2} + 9z^{2} = 1,
com semi-eixos 1 em y e 1/3 em z.
  • Para x=x_{0} a seção é a elipse
\frac{y^{2}}{1+x_{0}^{2}} + \frac{z^{2}}{(1+x_{0}^{2})/9} = 1,
com semi-eixos \sqrt{1+x_{0}^{2}} em y e \sqrt{1+x_{0}^{2}}/3 em z. À medida que |x_{0}| cresce, as elipses aumentam: a superfície é uma “cintura” alargando-se para as duas direções de x, formando uma peça única (uma folha).

Passo 6

Substituindo c=-1 temos
- x^{2} + y^{2} + 9z^{2} = -1.
Multiplicando por -1 para ver a forma canônica:
x^{2} - y^{2} - 9z^{2} = 1.
Agora, para uma seção x=x_{0} fixa, obtemos
y^{2} + 9z^{2} = x_{0}^{2} - 1.
Logo pontos existem somente quando x_{0}^{2}-1>0, isto é quando |x_{0}|>1. Para |x_{0}|\le 1 não há pontos reais. Isso significa:
  • A superfície é um hipérboloide de duas folhas com eixo ao longo do eixo x: uma folha para x>1 e outra folha para x<-1.
  • Em cada folha, para um x_{0} com |x_{0}|>1 a interseção é a elipse
\frac{y^{2}}{x_{0}^{2}-1} + \frac{z^{2}}{(x_{0}^{2}-1)/9} = 1,
com semi-eixos \sqrt{x_{0}^{2}-1} em y e \sqrt{x_{0}^{2}-1}/3 em z. As folhas começam “afastadas” do plano x=0 e não tocam a origem; há um intervalo central -1\le x\le 1 sem pontos.

Passo 7

  • Trace o eixo x horizontal e os eixos y,z perpendiculares (em projeção 2D desenhe o y vertical e um z “para dentro” com linhas tracejadas).
  • Para c=0: desenhe um cone duplo com vértice na origem, eixo ao longo de x. Mostre algumas elipses de seção para x=\pm 1,\pm 2 para orientar a forma.
  • Para c=1: desenhe uma superfície única que tem uma “cintura” no plano x=0 (elipse y^{2}+9z^{2}=1) e que se alarga conforme |x| cresce — hipérboloide de uma folha com eixo x.
  • Para c=-1: desenhe duas folhas separadas, uma para x>1 e outra para x<-1. Em x=1 e x=-1 as elipses têm degrau zero (limite degenerado), e para |x|>1 desenhe elipses crescentes.

Resposta

-x^{2}+y^{2}+9z^{2}=-1 \Longrightarrow x^{2}-y^{2}-9z^{2}=1 (hipérboloide de duas folhas, eixos ao longo de x; folhas para |x|>1).
-x^{2}+y^{2}+9z^{2}=0 (cone duplo com vértice na origem, eixo ao longo de x; seções elípticas y^{2}+9z^{2}=x^{2}).
-x^{2}+y^{2}+9z^{2}=1 (hipérboloide de uma folha, eixo ao longo de x; seção central em x=0 é a elipse y^{2}+9z^{2}=1).

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