O enunciado pede para “estudar a continuidade” da função definida por partes
f(x,y)=\begin{cases}1, & y \leq 2,\\[4pt] 3, & y>2.\end{cases}
Lista das informações dadas:
\text{Para qualquer ponto }(x,y)\in\mathbb{R}^2,\; f(x,y)=1\text{ se }y\le 2\text{ e }f(x,y)=3\text{ se }y>2.
A pergunta implícita é: para quais pontos (x_0,y_0) a função f é contínua? Em quais pontos ela é descontínua?]
Passo 2
Lembra do que significa “contínua” em \mathbb{R}^2? Vou explicar devagarinho. Dizemos que f é contínua em um ponto (x_0,y_0) quando
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0).
Isso significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que sempre que \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta teremos |f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon. Em palavras: se eu ficar suficientemente perto de (x_0,y_0) (num disco de raio \delta), os valores de f ficam tão próximos de f(x_0,y_0) quanto eu quiser (menores que \varepsilon). Vou usar essa definição para provar continuidade onde for o caso, e para mostrar falta de continuidade onde não for.
Passo 3
Analiso primeiro pontos com \,y_0<2. Pegue um ponto qualquer (x_0,y_0) com y_0<2. A ideia: como y_0 está estritamente abaixo de 2, existe um disco em torno de (x_0,y_0) que fica todo dentro da região \{y<2\}. Construa esse disco assim:
\delta = \frac{2-y_0}{2} > 0.
Se \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta, então |y-y_0|<\delta e portanto
Logo qualquer ponto dentro desse disco tem coordenada y<2, então para todos esses pontos f(x,y)=1. Como f(x_0,y_0)=1 também (porque y_0<2 implica y_0\le2), temos para qualquer \varepsilon>0
|f(x,y)-f(x_0,y_0)|=|1-1|=0<\varepsilon.
Isso satisfaz a definição epsilon-delta: portanto f é contínua em todo ponto com \,y_0<2.
Passo 4
Agora pontos com \,y_0>2. A argumentação é análoga. Para (x_0,y_0) com y_0>2 escolhemos
\delta = \frac{y_0-2}{2} > 0.
Se \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta então |y-y_0|<\delta e
Assim todos os pontos do disco têm y>2, logo f(x,y)=3 nesses pontos. Como f(x_0,y_0)=3, para qualquer \varepsilon>0 temos
|f(x,y)-f(x_0,y_0)|=|3-3|=0<\varepsilon,
portanto f é contínua em todo ponto com \,y_0>2.
Passo 5
Resta estudar pontos com \,y_0=2 (a linha horizontal y=2). Vou mostrar que em qualquer ponto (x_0,2) a função não é contínua — o limite não existe. A estratégia mais direta: tomar duas sequências que se aproximam de (x_0,2) e verificar que os valores de f ao longo delas tendem a limites diferentes.
Escolha a sequência que se aproxima por cima (pela região y>2):
Temos p_n\to(x_0,2) quando n\to\infty. Para cada n, como a segunda coordenada de p_n é 2+\tfrac{1}{n}>2, vale f(p_n)=3. Portanto a sequência f(p_n) é constante e converge para 3:
\lim_{n\to\infty} f(p_n)=3.
Agora escolha a sequência que se aproxima por baixo (pela região y<2):
Também q_n\to(x_0,2). Para cada n temos q_n com segunda coordenada menor que 2, então f(q_n)=1. Assim
\lim_{n\to\infty} f(q_n)=1.
Como as duas sequências que convergem para o mesmo ponto (x_0,2) produzem duas imagens com limites diferentes (3 e 1), o limite \lim_{(x,y)\to(x_0,2)} f(x,y) não existe. Em particular ele não pode ser igual a f(x_0,2) (que, pelo enunciado, é f(x_0,2)=1 porque y=2 está na parte y\le2). Conclusão: f é descontínua em todo ponto da reta \{(x,2)\}.
Passo 6
Resumo e interpretação intuitiva (pra você fixar): a função só muda de valor quando se cruza a linha horizontal y=2. Em cima de y=2 tem o valor 3, embaixo (e exatamente em y=2) tem o valor 1. Pontos estritamente acima ou estritamente abaixo têm um pequeno disco inteiro dentro de uma das regiões constantes, então ali f é contínua. Mas na própria linha de mudança (y=2) qualquer vizinhança contém pontos dos dois lados, com valores 1 e 3, então não existe limite único — daí a descontinuidade.
Resposta
A função f é contínua em todos os pontos com y\neq 2 e é descontínua em todos os pontos da reta \{(x,2)\mid x\in\mathbb{R}\}.