Desenhe as superfícies de nível das funções dadas para os valores c=-1,0,1 :
(a) f(x, y, z)=-x^{2}-y^{2}-z^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe as superfícies de nível da função \displaystyle f(x,y,z) = -x^{2}-y^{2}-z^{2} para os valores \displaystyle c=-1,\,0,\,1.\n\nInformações dadas:\n- A função é \displaystyle f(x,y,z) = -x^{2}-y^{2}-z^{2}.\n- Os valores de nível a considerar são \displaystyle c=-1, \displaystyle c=0 e \displaystyle c=1.\n- A tarefa é, para cada um desses \displaystyle c, determinar e descrever (e saber como desenhar) a superfície de nível definida por \displaystyle \{(x,y,z)\mid f(x,y,z)=c\}.

Passo 2

O que é uma superfície de nível (explicação didática):\n\nA superfície de nível para um valor \displaystyle c é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) no espaço que satisfazem a equação\n f(x,y,z)=c.
Em palavras: fixamos o valor da função e pegamos todos os pontos que fazem a função ter exatamente esse valor. Geometricamente, para funções escalares de três variáveis, isso geralmente dá uma superfície no espaço (pode dar também um ponto isolado, conjunto vazio, etc.).

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função: escrevemos a equação da superfície de nível e manipulamos algebricamente para entender a forma geométrica.\n\nComeçamos por
-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c.
Multiplicando ambos os lados por -1 (isto inverte o sinal dos dois lados) obtemos
x^{2}+y^{2}+z^{2} = -c.
Observação importante (conceito usado aqui): a soma de três quadrados \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} é sempre maior ou igual a \displaystyle 0. Portanto o lado direito \displaystyle -c tem que ser maior ou igual a \displaystyle 0 para existirem pontos reais. Isso implica que só podemos ter soluções se \displaystyle -c\ge 0, ou seja, se \displaystyle c\le 0.

Passo 4

Interpretação geométrica da equação obtida: \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} = -c.\n\nEssa é a equação padrão de uma esfera centrada na origem (0,0,0) com raio \displaystyle r=\sqrt{-c} (quando -c>0). Explico por que: a equação geral de uma esfera centrada na origem é \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}. Comparando, vemos que r^{2}=-c, então r=\sqrt{-c} (a raiz quadrada é não negativa). Se -c=0 então a “esfera” tem raio zero — ou seja, reduz-se ao ponto (0,0,0). Se -c<0 não existe raio real e, portanto, não há ponto real que satisfaça a equação (conjunto vazio).

Passo 5

Caso \displaystyle c=-1: cálculo e descrição detalhada.\n\nSubstituindo \displaystyle c=-1 em \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Isto é uma esfera centrada na origem com raio
r=\sqrt{1}=1.
Como desenhar na prática: em uma folha, para dar a ideia em 3D, desenhe uma elipse (projeção da circunferência em perspectiva) representando a “boca” da esfera e linhas curvas para as bordas; em uma visão por fatias, a interseção com o plano \displaystyle z=0 é o círculo \displaystyle x^{2}+y^{2}=1. Ponto-chave: todos os pontos a distância 1 da origem formam essa superfície.

Passo 6

Caso \displaystyle c=0: cálculo e descrição detalhada.\n\nSubstituindo \displaystyle c=0 obtemos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=0.
A soma de três quadrados só é zero quando cada quadrado é zero, portanto \displaystyle x=0,\;y=0,\;z=0. Logo a superfície de nível é o ponto único
(0,0,0).
Como desenhar: é apenas o ponto na origem — nada de superfície espalhada, apenas um pontinho.

Passo 7

Caso \displaystyle c=1: cálculo e conclusão.\n\nSubstituindo \displaystyle c=1 obtemos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=-1,
mas a soma de quadrados no lado esquerdo é sempre \ge 0, então ela não pode ser igual a -1. Conclusão: não existem pontos reais que satisfaçam essa equação. A superfície de nível para \displaystyle c=1 é o conjunto vazio, denotado por \displaystyle \varnothing.\n\nInterpretação intuitiva: como a função original \displaystyle f(x,y,z)=-x^{2}-y^{2}-z^{2} só assume valores menores ou iguais a \displaystyle 0 (porque é negativo de uma soma de quadrados), você nunca consegue obter um valor positivo \displaystyle c>0.

Passo 8

Resumo geral (fórmula e como reconhecer rapidamente no exame):\n\nDa equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c
concluímos:\n- Se \displaystyle c<0: superfície é uma esfera centrada na origem de raio \displaystyle r=\sqrt{-c}.\n- Se \displaystyle c=0: superfície é o ponto (0,0,0).\n- Se \displaystyle c>0: não há pontos reais (conjunto vazio).\n\nDica prática para a prova: ao ver funções do tipo \displaystyle -(\text{soma de quadrados}), já pense que níveis negativos dão esferas, nível zero dá a origem, e níveis positivos não existem.

Resposta

Para \displaystyle c=-1: esfera \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 (raio 1, centrada na origem).
Para \displaystyle c=0: ponto (0,0,0).
Para \displaystyle c=1: conjunto vazio \displaystyle \varnothing (nenhuma solução real).

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