Desenhe as superfícies de nível das funções dadas para os valores
:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede que eu desenhe as superfícies de nível da função
para os valores
.\n\nInformações dadas:\n- A função é
.\n- Os valores de nível a considerar são
,
e
.\n- A tarefa é, para cada um desses
, determinar e descrever (e saber como desenhar) a superfície de nível definida por
.
Passo 2
O que é uma superfície de nível (explicação didática):\n\nA superfície de nível para um valor
é o conjunto de todos os pontos
no espaço que satisfazem a equação\n
Em palavras: fixamos o valor da função e pegamos todos os pontos que fazem a função ter exatamente esse valor. Geometricamente, para funções escalares de três variáveis, isso geralmente dá uma superfície no espaço (pode dar também um ponto isolado, conjunto vazio, etc.).
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função: escrevemos a equação da superfície de nível e manipulamos algebricamente para entender a forma geométrica.\n\nComeçamos por
Multiplicando ambos os lados por
(isto inverte o sinal dos dois lados) obtemos
Observação importante (conceito usado aqui): a soma de três quadrados
é sempre maior ou igual a
. Portanto o lado direito
tem que ser maior ou igual a
para existirem pontos reais. Isso implica que só podemos ter soluções se
, ou seja, se
.
Passo 4
Interpretação geométrica da equação obtida:
.\n\nEssa é a equação padrão de uma esfera centrada na origem
com raio
(quando
). Explico por que: a equação geral de uma esfera centrada na origem é
. Comparando, vemos que
, então
(a raiz quadrada é não negativa). Se
então a “esfera” tem raio zero — ou seja, reduz-se ao ponto
. Se
não existe raio real e, portanto, não há ponto real que satisfaça a equação (conjunto vazio).
Passo 5
Caso
: cálculo e descrição detalhada.\n\nSubstituindo
em
dá
Isto é uma esfera centrada na origem com raio
Como desenhar na prática: em uma folha, para dar a ideia em 3D, desenhe uma elipse (projeção da circunferência em perspectiva) representando a “boca” da esfera e linhas curvas para as bordas; em uma visão por fatias, a interseção com o plano
é o círculo
. Ponto-chave: todos os pontos a distância
da origem formam essa superfície.
Passo 6
Caso
: cálculo e descrição detalhada.\n\nSubstituindo
obtemos
A soma de três quadrados só é zero quando cada quadrado é zero, portanto
. Logo a superfície de nível é o ponto único
Como desenhar: é apenas o ponto na origem — nada de superfície espalhada, apenas um pontinho.
Passo 7
Caso
: cálculo e conclusão.\n\nSubstituindo
obtemos
mas a soma de quadrados no lado esquerdo é sempre
, então ela não pode ser igual a
. Conclusão: não existem pontos reais que satisfaçam essa equação. A superfície de nível para
é o conjunto vazio, denotado por
.\n\nInterpretação intuitiva: como a função original
só assume valores menores ou iguais a
(porque é negativo de uma soma de quadrados), você nunca consegue obter um valor positivo
.
Passo 8
Resumo geral (fórmula e como reconhecer rapidamente no exame):\n\nDa equação
concluímos:\n- Se
: superfície é uma esfera centrada na origem de raio
.\n- Se
: superfície é o ponto
.\n- Se
: não há pontos reais (conjunto vazio).\n\nDica prática para a prova: ao ver funções do tipo
, já pense que níveis negativos dão esferas, nível zero dá a origem, e níveis positivos não existem.
Resposta
Para
: esfera
(raio
, centrada na origem).
Para : ponto
.
Para : conjunto vazio
(nenhuma solução real).
Para
Para