Encontre o limite:
.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
do vetor cujas componentes são:
- primeira componente:
, - segunda componente:
, - terceira componente:
.
Ou seja, é preciso calcular
Passo 2
Propriedade-chave (explicada de forma simples): o limite de uma função vetorial em
é obtido componente a componente. Mais precisamente, se
e se existem os limites
,
,
, então
Razão intuitiva e curta: a distância entre
e
é controlada pela soma das diferenças absolutas das componentes; se cada componente vai para seu limite, a soma (e portanto a norma) vai para zero.
Portanto basta calcular os três limites escalares das componentes.
Passo 3
Calcular
.
Note que
. A função
cresce para
quando
. O recíproco de um número que vai para
tende a
. Logo
Intuição: exponencial cresce muito rápido, então
decai rapidamente até zero.
Passo 4
Calcular
.
Divida numerador e denominador por
(válido para
, e estamos olhando
):
Como
, segue
Passo 5
Calcular
.
Propriedade da função
: é crescente e está limitada por
e
; mais precisamente para
tem
. Como
seus argumentos crescem sem limite, a imagem
aproxima-se do supremo do intervalo, que é
. Outra forma de ver:
quando
, então o inverso
quando
. Portanto
Passo 6
Juntando os três limites componentes (pela propriedade do Passo 2), o limite vetorial é