Encontre o limite:
\lim _{t \rightarrow \infty} e^{-t} \vec{i}+\frac{t}{t+1} \vec{j}+\arctan (t) \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t\to\infty do vetor cujas componentes são:
  • primeira componente: e^{-t},
  • segunda componente: \dfrac{t}{t+1},
  • terceira componente: \arctan(t).
Ou seja, é preciso calcular
\lim_{t\to\infty}\bigl(e^{-t}\bigr)\vec{i}+\left(\frac{t}{t+1}\right)\vec{j}+\bigl(\arctan(t)\bigr)\vec{k}.

Passo 2

Propriedade-chave (explicada de forma simples): o limite de uma função vetorial em \mathbb{R}^3 é obtido componente a componente. Mais precisamente, se
\vec{v}(t) = x(t)\,\vec{i}+y(t)\,\vec{j}+z(t)\,\vec{k},
e se existem os limites \lim_{t\to\infty} x(t)=X, \lim_{t\to\infty} y(t)=Y, \lim_{t\to\infty} z(t)=Z, então
\lim_{t\to\infty}\vec{v}(t)=X\,\vec{i}+Y\,\vec{j}+Z\,\vec{k}.
Razão intuitiva e curta: a distância entre \vec{v}(t) e X\vec{i}+Y\vec{j}+Z\vec{k} é controlada pela soma das diferenças absolutas das componentes; se cada componente vai para seu limite, a soma (e portanto a norma) vai para zero.
Portanto basta calcular os três limites escalares das componentes.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty} e^{-t}.
Note que e^{-t}=\dfrac{1}{e^{t}}. A função e^{t} cresce para +\infty quando t\to\infty. O recíproco de um número que vai para +\infty tende a 0. Logo
\lim_{t\to\infty} e^{-t}=0.
Intuição: exponencial cresce muito rápido, então e^{-t} decai rapidamente até zero.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty} \frac{t}{t+1}.
Divida numerador e denominador por t (válido para t\neq0, e estamos olhando t\to\infty):
\frac{t}{t+1}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{t}}.
Como \displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}=0, segue
\lim_{t\to\infty}\frac{t}{t+1}=\frac{1}{1+0}=1.

Passo 5

Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty} \arctan(t).
Propriedade da função \arctan: é crescente e está limitada por -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}; mais precisamente para t>0 tem 0<\arctan(t)<\tfrac{\pi}{2}. Como t\to\infty seus argumentos crescem sem limite, a imagem \arctan(t) aproxima-se do supremo do intervalo, que é \tfrac{\pi}{2}. Outra forma de ver: \tan(x)\to+\infty quando x\to\frac{\pi}{2}^-, então o inverso \arctan(t)\to\frac{\pi}{2} quando t\to+\infty. Portanto
\lim_{t\to\infty}\arctan(t)=\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Juntando os três limites componentes (pela propriedade do Passo 2), o limite vetorial é
0\,\vec{i}+1\,\vec{j}+\frac{\pi}{2}\,\vec{k}.

Resposta

\;0\vec{i}+\vec{j}+\dfrac{\pi}{2}\vec{k}

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