Desenhe um triângulo. Construa uma circunferência inscrita neste triângulo.
Passo 1
O que o enunciado pede: desenhar um triângulo qualquer e construir a circunferência inscrita nele (ou seja, a circunferência que toca os três lados do triângulo).
Informações dadas: nenhuma além da liberdade de escolher um triângulo.
O objetivo final é obter o centro do círculo inscrito (o incentro) e a circunferência tangente aos três lados do triângulo.
Informações dadas: nenhuma além da liberdade de escolher um triângulo.
O objetivo final é obter o centro
Passo 2
Desenhe um triângulo qualquer e rotule os vértices. Por exemplo: desenhe três pontos não colineares e una-os com retas para formar o triângulo
. Garanta que os lados
,
e
são bem visíveis e que o interior do triângulo é uma região fechada.
Passo 3
Construção da bissetriz do ângulo em
(passo detalhado, compass + régua):
- Com o compasso centrado em
, trace um arco de raio qualquer que corte os lados e . Chame os pontos de interseção de (em ) e (em ). Observação: o raio deve ser menor que o comprimento dos lados, apenas o suficiente para obter duas interseções. - Com o compasso centrado em
e com raio maior que metade de , trace um arco no interior do ângulo. Repita com o compasso centrado em com o mesmo raio. Esses dois arcos se cortam em um ponto interno ao ângulo; chame esse ponto de . - Trace a reta que une
a . Essa reta é a bissetriz interna do ângulo . Por definição de bissetriz, qualquer ponto sobre essa reta fica à mesma distância das semirretas e .
Explanação do porquê: a construção dos arcos em
e
garante que
é equidistante das duas linhas que formam o ângulo, portanto a reta
divide o ângulo em duas partes iguais.
Passo 4
Construa a bissetriz do ângulo em
com procedimento análogo:
- Com centro em
, marque interseções do arco com e ; chame-as de e . - A partir de
e desenhe arcos com mesmo raio (maior que metade de ) que se cortem no interior do ângulo em um ponto . - Trace a reta
; essa é a bissetriz interna de .
Passo 5
Encontre o incentro
:
- As duas bissetrizes internas
e se intersectam em um ponto interior ao triângulo; marque esse ponto de interseção como . - Teorema usado (explicado de forma simples): as bissetrizes internas dos ângulos internos de um triângulo concorrem num único ponto. Esse ponto é equidistante dos três lados do triângulo. Portanto
é o centro natural do círculo que será tangente aos três lados.
Por que isso funciona (intuição): um ponto sobre a bissetriz de um ângulo está à mesma distância das duas semirretas que formam o ângulo. Se um ponto está sobre as bissetrizes de dois ângulos de um triângulo, ele é simultaneamente equidistante dos pares de lados correspondentes; isso força-o a ser equidistante de todos os três lados.
Passo 6
Determinar o raio do círculo inscrito (construir o pé da perpendicular de
sobre um lado, aqui sobre
):
- Com centro em
, trace um arco que corte a reta em dois pontos; chame-os de e . (Escolha um raio que realmente intersecte em dois pontos.) - Construa a mediatriz do segmento
(procedimento clássico: com centros em e e raio maior que metade de desenhe dois arcos que se cortem acima e abaixo da reta ; una os pontos de interseção desses arcos para obter a mediatriz de ).
Observação importante: comoe estão em um arco centrado em , temos , então o ponto está sobre essa mediatriz. - A mediatriz de
é uma reta perpendicular a que passa por . Intersecte essa reta com e chame a interseção de . O segmento é perpendicular a e é o pé da perpendicular. - O comprimento
é a distância do incentro ao lado . Pelo fato do incentro ser equidistante dos três lados, é também a distância de aos outros dois lados.
Comentário sobre a construção da perpendicular: o truque de usar dois pontos
,
obtidos por um arco centrado em
garante que
está na mediatriz de
, assim a mediatriz dá exatamente a reta perpendicular a
passando por
.
Passo 7
Desenhe a circunferência inscrita:
- Abra o compasso com raio igual ao segmento
. - Com centro em
e essa abertura, trace a circunferência. Essa circunferência toca a reta no ponto (porque é perpendicular a e tem comprimento igual à distância de ao lado). Pelas propriedades do incentro, a mesma circunferência tocará também os outros dois lados e nos pontos obtidos ao projetar perpendicularmente sobre cada um desses lados.
Passo 8
Verificação e conclusão:
- Você pode verificar que o círculo é tangente a cada lado desenhando as perpendiculares de
sobre e (mesmo procedimento do Passo 6) e confirmando que o raio é igual às distâncias obtidas a esses lados. - Pronto — agora você tem o incentro
e a circunferência inscrita no triângulo .
Resposta
Circunferência inscrita de centro
e raio
.