Desenhe um triângulo. Construa uma circunferência inscrita neste triângulo.

Passo 1

O que o enunciado pede: desenhar um triângulo qualquer e construir a circunferência inscrita nele (ou seja, a circunferência que toca os três lados do triângulo).
Informações dadas: nenhuma além da liberdade de escolher um triângulo.
O objetivo final é obter o centro I do círculo inscrito (o incentro) e a circunferência tangente aos três lados do triângulo.

Passo 2

Desenhe um triângulo qualquer e rotule os vértices. Por exemplo: desenhe três pontos não colineares e una-os com retas para formar o triângulo ABC. Garanta que os lados AB, BC e CA são bem visíveis e que o interior do triângulo é uma região fechada.

Passo 3

Construção da bissetriz do ângulo em A (passo detalhado, compass + régua):
  1. Com o compasso centrado em A, trace um arco de raio qualquer que corte os lados AB e AC. Chame os pontos de interseção de E_1 (em AB) e F_1 (em AC). Observação: o raio deve ser menor que o comprimento dos lados, apenas o suficiente para obter duas interseções.
  2. Com o compasso centrado em E_1 e com raio maior que metade de E_1F_1, trace um arco no interior do ângulo. Repita com o compasso centrado em F_1 com o mesmo raio. Esses dois arcos se cortam em um ponto interno ao ângulo; chame esse ponto de X.
  3. Trace a reta que une A a X. Essa reta é a bissetriz interna do ângulo \angle A. Por definição de bissetriz, qualquer ponto sobre essa reta fica à mesma distância das semirretas AB e AC.
Explanação do porquê: a construção dos arcos em E_1 e F_1 garante que X é equidistante das duas linhas que formam o ângulo, portanto a reta AX divide o ângulo em duas partes iguais.

Passo 4

Construa a bissetriz do ângulo em B com procedimento análogo:
  1. Com centro em B, marque interseções do arco com BA e BC; chame-as de E_2 e F_2.
  2. A partir de E_2 e F_2 desenhe arcos com mesmo raio (maior que metade de E_2F_2) que se cortem no interior do ângulo em um ponto Y.
  3. Trace a reta BY; essa é a bissetriz interna de \angle B.

Passo 5

Encontre o incentro I:
  1. As duas bissetrizes internas AX e BY se intersectam em um ponto interior ao triângulo; marque esse ponto de interseção como I.
  2. Teorema usado (explicado de forma simples): as bissetrizes internas dos ângulos internos de um triângulo concorrem num único ponto. Esse ponto é equidistante dos três lados do triângulo. Portanto I é o centro natural do círculo que será tangente aos três lados.
Por que isso funciona (intuição): um ponto sobre a bissetriz de um ângulo está à mesma distância das duas semirretas que formam o ângulo. Se um ponto está sobre as bissetrizes de dois ângulos de um triângulo, ele é simultaneamente equidistante dos pares de lados correspondentes; isso força-o a ser equidistante de todos os três lados.

Passo 6

Determinar o raio do círculo inscrito (construir o pé da perpendicular de I sobre um lado, aqui sobre BC):
  1. Com centro em I, trace um arco que corte a reta BC em dois pontos; chame-os de E_3 e F_3. (Escolha um raio que realmente intersecte BC em dois pontos.)
  2. Construa a mediatriz do segmento E_3F_3 (procedimento clássico: com centros em E_3 e F_3 e raio maior que metade de E_3F_3 desenhe dois arcos que se cortem acima e abaixo da reta BC; una os pontos de interseção desses arcos para obter a mediatriz de E_3F_3).
    Observação importante: como E_3 e F_3 estão em um arco centrado em I, temos IE_3=IF_3, então o ponto I está sobre essa mediatriz.
  3. A mediatriz de E_3F_3 é uma reta perpendicular a BC que passa por I. Intersecte essa reta com BC e chame a interseção de D. O segmento ID é perpendicular a BC e D é o pé da perpendicular.
  4. O comprimento ID é a distância do incentro I ao lado BC. Pelo fato do incentro ser equidistante dos três lados, ID é também a distância de I aos outros dois lados.
Comentário sobre a construção da perpendicular: o truque de usar dois pontos E_3, F_3 obtidos por um arco centrado em I garante que I está na mediatriz de E_3F_3, assim a mediatriz dá exatamente a reta perpendicular a BC passando por I.

Passo 7

Desenhe a circunferência inscrita:
  1. Abra o compasso com raio igual ao segmento ID.
  2. Com centro em I e essa abertura, trace a circunferência. Essa circunferência toca a reta BC no ponto D (porque ID é perpendicular a BC e tem comprimento igual à distância de I ao lado). Pelas propriedades do incentro, a mesma circunferência tocará também os outros dois lados AB e AC nos pontos obtidos ao projetar I perpendicularmente sobre cada um desses lados.

Passo 8

Verificação e conclusão:
  1. Você pode verificar que o círculo é tangente a cada lado desenhando as perpendiculares de I sobre AB e AC (mesmo procedimento do Passo 6) e confirmando que o raio ID é igual às distâncias obtidas a esses lados.
  2. Pronto — agora você tem o incentro I e a circunferência inscrita no triângulo ABC.

Resposta

Circunferência inscrita de centro I e raio ID.

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