Desenhe um segmento. Construa um hexágono regular que tenha este segmento como um de seus lados.

Passo 1

O enunciado pede: a partir de um segmento dado, construir um hexágono regular que tenha esse segmento como um de seus lados.
Informações dadas: existe um segmento inicial, vou chamar seus extremos de A e B. O objetivo é construir um hexágono regular cujos vértices contenham os pontos A e B como dois vértices consecutivos, ou seja, de modo que o lado AB seja um lado do hexágono.

Passo 2

Ideia-chave (intuitionzinha amiguinha): num hexágono regular inscrito numa circunferência, o comprimento do lado é igual ao raio da circunferência. Em outras palavras, se o hexágono é regular e a circunferência circunscrita tem centro O e raio R, então cada lado do hexágono tem comprimento R. Vou usar isso como base da construção: quero uma circunferência cujo raio seja igual a AB e que passe por A e por B. O centro dessa circunferência será um ponto O que satisfaz OA=OB=AB.

Passo 3

Como achar o ponto O (passo construtivo 1): com o compasso, faça duas circunferências do mesmo raio AB:
  • coloque o compasso com abertura igual ao segmento AB (ou seja, distância entre as pontas do compasso = AB);
  • com centro em A, desenhe a circunferência \odot(A,AB) (circunferência de centro A e raio AB);
  • com centro em B, desenhe a circunferência \odot(B,AB).
Essas duas circunferências intersectam-se em dois pontos simétricos em relação à mediatriz de AB. Escolha um desses pontos e chame-o de O. Esse O satisfaz OA=OB=AB pelo modo como foi construído (é interseção de circunferências de raio AB).

Passo 4

Por que O é um centro válido? Explicação didática: pelo passo anterior temos OA=OB e também OA=AB. Assim os três segmentos OA, OB e AB têm o mesmo comprimento, logo o triângulo OAB tem seus três lados iguais — é um triângulo equilátero. Num triângulo equilátero cada ângulo vale 60^\circ, então o ângulo central \angle AOB mede 60^\circ. Isso significa que o arco de circunferência entre A e B, em torno de O, corresponde a 60^\circ. Como a circunferência tem 360^\circ, cabem exatamente seis arcos iguais de 60^\circ; esses seis arcos correspondem aos seis lados de um hexágono regular.

Passo 5

Desenhe a circunferência circunscrita do hexágono: com o compasso centrado em O e raio OA (esse raio é igual a AB), desenhe a circunferência \odot(O,OA). Essa circunferência passa por A e por B e será a circunferência onde os seis vértices do hexágono vão ficar.

Passo 6

Marcar os outros vértices do hexágono, passo-a-passo (método de “dar passos” com o compasso):
  • Mantenha a abertura do compasso igual a AB (ou igual a OA; são iguais).
  • Coloque a ponta fixa do compasso em B e trace uma pequena arco que corte a circunferência \odot(O,OA). O ponto de interseção, diferente de A, chame de C. Agora BC=AB e C está sobre a circunferência.
  • Coloque a ponta fixa do compasso em C e trace um arco que corte a circunferência \odot(O,OA). Chame esse novo ponto de interseção de D.
  • Repita: com centro em D marque E; com centro em E marque F.
  • Ao colocar o compasso com centro em F e traçar o arco, você obterá de volta o ponto A (verifique que o último arco volta a cruzar em A). Assim teremos os seis pontos A,B,C,D,E,F sobre a circunferência.
Observação prática: os arcos que você está traçando são círculos de raio AB centrados em cada vértice já obtido; cada interseção com a circunferência \odot(O,OA) fornece o próximo vértice. Esse é o mesmo efeito de “marcar passo de 60°” ao redor da circunferência.

Passo 7

Ligar os vértices: com a régua (sem medir!), una consecutivamente A a B, B a C, C a D, D a E, E a F e F a A. Obtém-se o polígono ABCDEF.

Passo 8

Verificar que o hexágono é regular (garantia matemática): pela construção temos
  • todos os pontos A,B,C,D,E,F estão sobre a mesma circunferência de centro O e raio OA;
  • cada lado foi construído com comprimento igual a AB (cada novo vértice foi obtido por arco de raio AB a partir do vértice anterior), então AB=BC=CD=DE=EF=FA.
    Além disso, como O satisfaz OA=OB=AB, os arcos entre vértices adjacentes medem 60^\circ, logo os ângulos centrais são iguais e o hexágono é regular.

Passo 9

Dicas práticas e erros comuns para a prova:
  • mantenha a abertura do compasso exatamente igual a AB quando for marcar os vértices sucessivos; qualquer variação estraga a regularidade;
  • quando desenhar as duas primeiras circunferências em A e B, escolha o ponto O de interseção que fique do lado do papel onde você quer o hexágono; há duas escolhas simétricas;
  • não é preciso calcular ângulos numericamente: a propriedade dos triângulos equiláteros ( OA=OB=AB) garante os 60^\circ.

Resposta

Hexágono regular ABCDEF com vértices obtidos na circunferência de centro O (interseção das circunferências de centro A e B e raio AB), de modo que AB é um dos lados do hexágono.

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