Desenhe um segmento. Construa um hexágono regular que tenha este segmento como um de seus lados.
Passo 1
O enunciado pede: a partir de um segmento dado, construir um hexágono regular que tenha esse segmento como um de seus lados.
Informações dadas: existe um segmento inicial, vou chamar seus extremos de e
. O objetivo é construir um hexágono regular cujos vértices contenham os pontos
e
como dois vértices consecutivos, ou seja, de modo que o lado
seja um lado do hexágono.
Informações dadas: existe um segmento inicial, vou chamar seus extremos de
Passo 2
Ideia-chave (intuitionzinha amiguinha): num hexágono regular inscrito numa circunferência, o comprimento do lado é igual ao raio da circunferência. Em outras palavras, se o hexágono é regular e a circunferência circunscrita tem centro
e raio
, então cada lado do hexágono tem comprimento
. Vou usar isso como base da construção: quero uma circunferência cujo raio seja igual a
e que passe por
e por
. O centro dessa circunferência será um ponto
que satisfaz
.
Passo 3
Como achar o ponto
(passo construtivo 1): com o compasso, faça duas circunferências do mesmo raio
:
- coloque o compasso com abertura igual ao segmento
(ou seja, distância entre as pontas do compasso = ); - com centro em
, desenhe a circunferência (circunferência de centro e raio ); - com centro em
, desenhe a circunferência .
Essas duas circunferências intersectam-se em dois pontos simétricos em relação à mediatriz de
. Escolha um desses pontos e chame-o de
. Esse
satisfaz
pelo modo como foi construído (é interseção de circunferências de raio
).
Passo 4
Por que
é um centro válido? Explicação didática: pelo passo anterior temos
e também
. Assim os três segmentos
,
e
têm o mesmo comprimento, logo o triângulo
tem seus três lados iguais — é um triângulo equilátero. Num triângulo equilátero cada ângulo vale
, então o ângulo central
mede
. Isso significa que o arco de circunferência entre
e
, em torno de
, corresponde a
. Como a circunferência tem
, cabem exatamente seis arcos iguais de
; esses seis arcos correspondem aos seis lados de um hexágono regular.
Passo 5
Desenhe a circunferência circunscrita do hexágono: com o compasso centrado em
e raio
(esse raio é igual a
), desenhe a circunferência
. Essa circunferência passa por
e por
e será a circunferência onde os seis vértices do hexágono vão ficar.
Passo 6
Marcar os outros vértices do hexágono, passo-a-passo (método de “dar passos” com o compasso):
- Mantenha a abertura do compasso igual a
(ou igual a ; são iguais). - Coloque a ponta fixa do compasso em
e trace uma pequena arco que corte a circunferência . O ponto de interseção, diferente de , chame de . Agora e está sobre a circunferência. - Coloque a ponta fixa do compasso em
e trace um arco que corte a circunferência . Chame esse novo ponto de interseção de . - Repita: com centro em
marque ; com centro em marque . - Ao colocar o compasso com centro em
e traçar o arco, você obterá de volta o ponto (verifique que o último arco volta a cruzar em ). Assim teremos os seis pontos sobre a circunferência.
Observação prática: os arcos que você está traçando são círculos de raio
centrados em cada vértice já obtido; cada interseção com a circunferência
fornece o próximo vértice. Esse é o mesmo efeito de “marcar passo de 60°” ao redor da circunferência.
Passo 7
Ligar os vértices: com a régua (sem medir!), una consecutivamente
a
,
a
,
a
,
a
,
a
e
a
. Obtém-se o polígono
.
Passo 8
Verificar que o hexágono é regular (garantia matemática): pela construção temos
- todos os pontos
estão sobre a mesma circunferência de centro e raio ; - cada lado foi construído com comprimento igual a
(cada novo vértice foi obtido por arco de raio a partir do vértice anterior), então .
Além disso, comosatisfaz , os arcos entre vértices adjacentes medem , logo os ângulos centrais são iguais e o hexágono é regular.
Passo 9
Dicas práticas e erros comuns para a prova:
- mantenha a abertura do compasso exatamente igual a
quando for marcar os vértices sucessivos; qualquer variação estraga a regularidade; - quando desenhar as duas primeiras circunferências em
e , escolha o ponto de interseção que fique do lado do papel onde você quer o hexágono; há duas escolhas simétricas; - não é preciso calcular ângulos numericamente: a propriedade dos triângulos equiláteros (
) garante os .
Resposta
Hexágono regular
com vértices obtidos na circunferência de centro
(interseção das circunferências de centro
e
e raio
), de modo que
é um dos lados do hexágono.