(a) Qual é a soma s dos doze vetores que vão do centro de um relógio até as horas 1: 00,2: 00, ldots, 12: 00 ?
(b) Se o vetor das 2:00 for removido, por que os 11 vetores restantes somam 8:00?
(c) Quais são as componentes x, y desse vetor das 2: 00, v=(cos theta, sin theta) ?

Passo 1

O enunciado fala dos doze vetores unitários que vão do centro do relógio até cada hora de 1: 00 a 12: 00. O conteúdo é soma de vetores no plano, que podemos tratar usando a simetria ou a representação como números complexos/unitários distribuídos uniformemente em 2pi. Precisamos:
1. Calcular s=sumk=1^12vk.
2. Entender por que, ao remover v2, a soma dos 11 restantes aponta para 8: 00.
3. Determinar as componentes de v2=(costheta,sintheta).

Passo 2

Cada vetor vk aponta a um ângulo thetak igualmente espaçado de 2pi/12=pi/6. Podemos representá-los como vk=e^i(k-1)pi/6. A soma de todas as 12 “raízes da unidade” é
s=sumk=0^11e^ikpi/6=0,
pois é a soma de todos os vértices de um polígono regular centrado na origem. Logo s=(0,0).

Passo 3

Se removemos o vetor de 2: 00, digamos v2, a soma dos 11 restantes é
s' = s - v2 = -,v2
O vetor -v2 tem mesma norma ( 1) mas direção oposta à de 2: 00, ou seja, aponta para 8: 00.

Passo 4

Para o vetor de 2:00, a partir do eixo x positivo giramos theta=pi/6 ( 30^circ) no sentido anti-hor’ario. Ent~ao
v2 = (costheta,sintheta) com theta=pi6,
portanto
costheta = cos!l(tfracpi6r)=raiz32, sintheta = sin!l(tfracpi6r)=12

Resposta

(a) s=(0,0).
(b) A soma dos 11 vetores é -v2, que aponta para 8: 00.
(c) v2=l(tfracraiz32,,tfrac12r).

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