Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
(A-B)^2=(B-A)^2, para todo par de matrizes quadradas A e B.

Passo 1

O enunciado pergunta se vale sempre
(A - B)^2 = (B - A)^2
para quaisquer matrizes quadradas A e B. O conteúdo é manipular expressões matriciais, lembrando que a soma de matrizes é comutativa, mas a multiplicação em geral não.

Passo 2

Calculemos (A - B)^2 usando a distributividade:
(A - B)^2 = (A - B)(A - B) = A^2 - A B - B A + B^2

Passo 3

Agora calculemos (B - A)^2:
(B - A)^2 = (B - A)(B - A) = B^2 - B A - A B + A^2

Passo 4

Observe que em ambas as expressões aparecem A^2+B^2 e -AB-BA, pois
B^2 + A^2 = A^2 + B^2, -BA - AB = -(BA + AB) = -(AB + BA)
Logo as duas expansões coincidem, isto é,
(A - B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2 = B^2 - BA - AB + A^2 = (B - A)^2

Resposta

Verdadeiro.

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