Desenvolva (A+B)^{2} e (A+B)^{3} em \mathcal{M}_{n}.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver (expandir) (A+B)^{2} e (A+B)^{3} em \mathcal{M}_{n}.\n
Informações dadas e condições relevantes: \n
  • A e B são matrizes em \mathcal{M}_{n} (matrizes n\times n com a multiplicação e soma usuais).\n
  • As operações usuais válidas em \mathcal{M}_{n} são a soma, a multiplicação e a associatividade da multiplicação; entretanto, a multiplicação de matrizes, em geral, não é comutativa, ou seja, pode ocorrer AB \neq BA.\n
  • Não há outras hipóteses (por exemplo, que A e B comutem), então devemos desenvolver as potências sem assumir AB=BA.

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (explicadas com calma):\n
  1. Distributividade à esquerda e à direita da multiplicação sobre a soma: para quaisquer matrizes X,Y,Z compatíveis,
X(Y+Z)=XY+XZ
e
(Y+Z)X=YX+ZX.
O que isso diz na prática: multiplicar uma soma por uma matriz é o mesmo que multiplicar cada parcela e somar os resultados. É a mesma ideia que em números, só que aqui a ordem importa.\n
2) Associatividade da multiplicação: para quaisquer X,Y,Z,
(XY)Z = X(YZ).
Isto permite escrever XYZ sem dúvida sobre parênteses: sempre podemos agrupar como for conveniente.\n
3) Notação de potência: definimos A^{2}=AA, A^{3}=AAA, e assim por diante. Note que A^{2}B significa (A A) B e não pode ser permutado para A B A a menos que saibamos que os fatores comutam.\n
4) Ordem importa: um exemplo numérico simples para fixar a ideia — pegue
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Calcule AB e BA:\n
AB=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Como AB\neq BA, não podemos combinar termos como se fossem números escalares. Isso é o ponto crucial ao expandir potências de soma de matrizes.]

Passo 3

Desenvolvimento de (A+B)^{2} passo a passo:\n
Começamos pela definição:
(A+B)^{2}=(A+B)(A+B).
Aplicando distributividade (multiplicamos o primeiro fator pela soma do segundo):
(A+B)(A+B)=A(A+B)+B(A+B).
Agora distribuímos dentro de cada termo:
A(A+B)=AA+AB=A^{2}+AB,
B(A+B)=BA+BB=BA+B^{2}.
Somando as duas partes obtemos
(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}.
Observação didática: os termos de “cruzamento” aparecem nas duas ordens AB e BA porque os dois produtos surgem ao multiplicar os parênteses; não podemos somá-los em um único termo a menos que AB=BA.

Passo 4

Desenvolvimento de (A+B)^{3} passo a passo:\n
Usamos a definição de potência:
(A+B)^{3}=(A+B)^{2}(A+B).
Substituímos o resultado do passo anterior para (A+B)^{2}:
(A+B)^{3}=(A^{2}+AB+BA+B^{2})(A+B).
Agora aplicamos distributividade multiplicando cada parcela da soma pelo último fator (A+B):
A^{2}(A+B)+AB(A+B)+BA(A+B)+B^{2}(A+B).
Desenvolvendo cada produto (sempre respeitando a ordem):
A^{2}A + A^{2}B + ABA + AB^{2} + BA^{2} + BAB + B^{2}A + B^{2}B.
Agora reconhecemos potências quando aparecem, por exemplo A^{2}A=A^{3} e B^{2}B=B^{3}. Assim, reescrevemos:
(A+B)^{3}=A^{3}+A^{2}B+ABA+AB^{2}+BA^{2}+BAB+B^{2}A+B^{3}.
Comentário didático: temos 8 termos — todas as sequências possíveis de três letras formadas por \{A,B\} mantendo a ordem de multiplicação. Novamente, não se pode colapsar, por exemplo, A^{2}B com ABA ou com BA^{2} a menos que haja comutação entre A e B.

Passo 5

Verificação rápida com o exemplo numérico do Passo 2 (ajuda a fixar):\n
Com as matrizes
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
temos A+B=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}. Então
(A+B)^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}^{2}= \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I.
Pelas fórmulas obtidas:
A^{2}=0,\quad B^{2}=0,\quad AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
logo
A^{2}+AB+BA+B^{2}=0+AB+BA+0=AB+BA=I,
o que coincide com (A+B)^{2}. Bom sinal: a expansão está correta e respeita a ordem dos fatores.\n
Observação final útil: se A e B comutam (isto é, AB=BA), as fórmulas acima se reduzem às identidades usuais do binômio para escalares:
(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2},
(A+B)^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}.
Mas sem comutatividade, devemos manter os termos separados conforme feito.]

Resposta

(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}\n
(A+B)^{3}=A^{3}+A^{2}B+ABA+AB^{2}+BA^{2}+BAB+B^{2}A+B^{3}

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