Desenvolva
e
em
.
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver (expandir)
e
em
.\n
Informações dadas e condições relevantes: \n
Informações dadas e condições relevantes: \n
-
e são matrizes em (matrizes com a multiplicação e soma usuais).\n - As operações usuais válidas em
são a soma, a multiplicação e a associatividade da multiplicação; entretanto, a multiplicação de matrizes, em geral, não é comutativa, ou seja, pode ocorrer .\n - Não há outras hipóteses (por exemplo, que
e comutem), então devemos desenvolver as potências sem assumir .
Passo 2
Conceitos e propriedades que vamos usar (explicadas com calma):\n
- Distributividade à esquerda e à direita da multiplicação sobre a soma: para quaisquer matrizes
compatíveis,
e
O que isso diz na prática: multiplicar uma soma por uma matriz é o mesmo que multiplicar cada parcela e somar os resultados. É a mesma ideia que em números, só que aqui a ordem importa.\n
2) Associatividade da multiplicação: para quaisquer ,
2) Associatividade da multiplicação: para quaisquer
Isto permite escrever
sem dúvida sobre parênteses: sempre podemos agrupar como for conveniente.\n
3) Notação de potência: definimos ,
, e assim por diante. Note que
significa
e não pode ser permutado para
a menos que saibamos que os fatores comutam.\n
4) Ordem importa: um exemplo numérico simples para fixar a ideia — pegue
3) Notação de potência: definimos
4) Ordem importa: um exemplo numérico simples para fixar a ideia — pegue
Calcule
e
:\n
Como
, não podemos combinar termos como se fossem números escalares. Isso é o ponto crucial ao expandir potências de soma de matrizes.]
Passo 3
Desenvolvimento de
passo a passo:\n
Começamos pela definição:
Começamos pela definição:
Aplicando distributividade (multiplicamos o primeiro fator pela soma do segundo):
Agora distribuímos dentro de cada termo:
Somando as duas partes obtemos
Observação didática: os termos de “cruzamento” aparecem nas duas ordens
e
porque os dois produtos surgem ao multiplicar os parênteses; não podemos somá-los em um único termo a menos que
.
Passo 4
Desenvolvimento de
passo a passo:\n
Usamos a definição de potência:
Usamos a definição de potência:
Substituímos o resultado do passo anterior para
:
Agora aplicamos distributividade multiplicando cada parcela da soma pelo último fator
:
Desenvolvendo cada produto (sempre respeitando a ordem):
Agora reconhecemos potências quando aparecem, por exemplo
e
. Assim, reescrevemos:
Comentário didático: temos 8 termos — todas as sequências possíveis de três letras formadas por
mantendo a ordem de multiplicação. Novamente, não se pode colapsar, por exemplo,
com
ou com
a menos que haja comutação entre
e
.
Passo 5
Verificação rápida com o exemplo numérico do Passo 2 (ajuda a fixar):\n
Com as matrizes
Com as matrizes
temos
. Então
Pelas fórmulas obtidas:
logo
o que coincide com
. Bom sinal: a expansão está correta e respeita a ordem dos fatores.\n
Observação final útil: se e
comutam (isto é,
), as fórmulas acima se reduzem às identidades usuais do binômio para escalares:
Observação final útil: se
Mas sem comutatividade, devemos manter os termos separados conforme feito.]