Determine todas as matrizes que comutam \operatorname{com} A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 4 & 5\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as matrizes que comutam com \displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]4 & 5\end{pmatrix}.
Informações dadas que vamos usar: \displaystyle A é uma matriz 2\times2 com entradas 1,2,4,5. A condição de comutar é achar todas as matrizes \displaystyle X de tamanho 2\times2 tais que \displaystyle XA=AX. Neste problema não há outras restrições (vou assumir coeficientes reais, \displaystyle \mathbb{R}).]

Passo 2

Escolho uma matriz geral 2\times2 com incógnitas para as entradas, e explico o que cada incógnita representa:
X=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt]z & w\end{pmatrix},
onde \displaystyle x,y,z,w\in\mathbb{R} são as entradas desconhecidas que precisamos determinar para que \displaystyle XA=AX.]

Passo 3

Calculo explicitamente o produto \displaystyle XA e o produto \displaystyle AX, multiplicando linha por coluna e escrevendo cada entrada.
XA= \begin{pmatrix} x & y\\[4pt] z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\[4pt] 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+4y & 2x+5y\\[4pt] z+4w & 2z+5w \end{pmatrix}.
AX= \begin{pmatrix} 1 & 2\\[4pt] 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y\\[4pt] z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2z & y+2w\\[4pt] 4x+5z & 4y+5w \end{pmatrix}.]

Passo 4

Imponho a condição \displaystyle XA=AX igualando as entradas correspondentes; obtenho um sistema de equações:
entrada (1,1):
x+4y = x+2z \quad\Rightarrow\quad 4y=2z \quad\Rightarrow\quad z=2y.
entrada (1,2):
2x+5y = y+2w \quad\Rightarrow\quad 2x+4y=2w \quad\Rightarrow\quad w=x+2y.
entrada (2,1):
z+4w = 4x+5z \quad\Rightarrow\quad 4w-4x-4z=0 \quad\Rightarrow\quad w=x+z.
entrada (2,2):
2z+5w = 4y+5w \quad\Rightarrow\quad 2z=4y \quad\Rightarrow\quad z=2y.
As equações (1,1) e (2,2) são a mesma condição z=2y. Substituindo z=2y na equação w=x+z w=x+2y, que coincide com a equação obtida acima. Portanto o sistema é consistente e deixa duas incógnitas livres, por exemplo x e y.

Passo 5

Escrevo a forma geral da solução em termos das incógnitas livres \displaystyle x e \displaystyle y:
X=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt]2y & x+2y\end{pmatrix}.
Posso separar em combinação linear das matrizes base:
X = x\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix} = xI + yB,
onde \displaystyle I é a identidade 2\times2 e \displaystyle B=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora escrevo \displaystyle B em termos de \displaystyle I e \displaystyle A. Procuro \alpha,\beta tais que \displaystyle B=\alpha I+\beta A. Isso dá o sistema
\alpha+\beta = 0,\qquad \alpha+5\beta=2.
Subtraindo a primeira da segunda: 4\beta=2\Rightarrow \beta=\tfrac12. Então \alpha=-\tfrac12. Logo
B=-\tfrac12 I + \tfrac12 A.
Substituindo em X=xI+yB obtenho
X = xI + y\Bigl(-\tfrac12 I + \tfrac12 A\Bigr) = \Bigl(x-\tfrac{y}{2}\Bigr)I + \tfrac{y}{2}A.
Se eu definir \displaystyle \alpha = x-\tfrac{y}{2} e \displaystyle \beta=\tfrac{y}{2}, então
X=\alpha I + \beta A,
com \displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Isso mostra que toda solução é uma combinação linear de \displaystyle I e \displaystyle A.

Passo 7

Verifico que qualquer matriz da forma \displaystyle \alpha I+\beta A realmente comuta com \displaystyle A:
(\alpha I+\beta A)A=\alpha A+\beta A^2 = A(\alpha I+\beta A),
então a inclusão inversa também é satisfeita. Além disso já mostramos que as soluções formam um espaço de dimensão 2 (parâmetros x,y), então não existem mais soluções além dessas combinações lineares. (Observação rápida: isto coincide com o fato de que \displaystyle A tem autovalores distintos, então sua comutante é formada por polinômios em \displaystyle A, mas a solução direta por equações já é suficiente e elementar.)

Resposta

\displaystyle \{\,\alpha I+\beta A \mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\,\}

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